The Structure and Interpretation of Tensor Programs

$↩$ Table of Contents (§1.1 From Certain to Uncertain Knowledge)

In which we have our first encounter with language modeling via GPT-2 and borscht, and the foundational notions from probability and linear algebra used, namely random variables, their distributions, and their computational equivalent of the multidimensional array.

1.1 From Certain to Uncertain Knowledge
- 1.1.1 From Variables to Random Variables
- 1.1.2 Probability as Array Programming

1.1.1 From Variables to Random Variables

The gifts that the information revolution brought forth to humanity, at their essence, have simple explanations. As a first approximation, the digital computer can be described as 0s and 1s, the intergalactic computer network as an information highway, and the cloud as computers in the sky. The same can be said for those that the intelligence revolution is currently bringing in. Assistants can be described as LLMs trained with thumbs up or thumbs down, reasoners as producing chains of thought, and agents as models that have access to a command line. This magic is continuing to grow as people are even composing agents together into swarms but the key technology that underlies everything is the large language model, which itself, can be simply explained as a next token predictor. That is, given some user prompt as input, it generates an answer by repeatedly producing a probability distribution over the next word, sampling a word, and appending such word to the input.

Although ChatGPT, Claude and friends are relatively new to our universe, the idea of generating sentences with next token prediction is surprisingly not new and dates back to the work of Russian mathematician Andrey Andreyevich Markov in 1913, and shortly after Claude Shannon in 1948Will the real Claude please stand up?. So why is humanity’s so-called tech tree late to such technology? Predominantly for two reasons.

Philosophically, because of the eternal tension between the discretediscrete and continuouscontinuous methods in describing our reality. Programmers were reluctant to use stochastic and infinitely continuous techniques, favoring those that were logical and finitely discrete. However, … like a physicist position of every particle in a vacuum, even with a set of initial equations for position and momentum with equations for change, describing reality with too many parts to countbitter lesson. This created the need for statistical mechanics, describing particles with probability distributionsprobability distributions.

Practically, it’s predominantly because of the fossil-fuel like subsidy of datadata provided by the aforementioned intergalactic computer network we call the web, the computecompute provided by massively parallel processors originally designed for video games we call graphic processing units (henceforth GPUs), which can be used efficiently by a neural network architecturearchitecture called attention. This is why ChatGPT Claude are called large language modelslarge language model.

Large Language Models explained briefly (Grant Sanderson, 3Blue1Brown 2024)

Large language models are trained using methods from the discipline of deep learningdeep learning, which in turn, are based in the statistical machine learningmachine learning approach to artificial intelligence. This means, in order to produce such a probability distribution over possible next words, ChatGPT, Claude and others use a lot of mathematical machinery from the areas of probability theory (clearly), linear algebra, and calculus. We will introduce such mathematical primitives by keeping our language models simple at first in Part I. Elements of Networks — namely what is called the ngram model and linear models in which the aforementioned Markov and Shannon were working on around a century ago — before diving into the design of neural network architectures (including transformers with the attention operator) in Part II. Deep Neural NetworksPhysicists learn the standard model before general relativity. Similarly, we must learn the foundations of machine learning before deep learning..

Note

If you’d like a more historical and philosophical approach in how the logical and finitely discrete techniques of software 1.0 failed to build such conversational machines, you are encouraged to visit §B. From Symbolic Software 1.0 to Stochastic Software 2.0, which covers early systems from classical computational linguistics and natural language processing. Namely, ELIZA, LUNAR, and CYC.

Up ahead we will be intuitively introducing many notions from probability and linear algebra in the context of large language modelling with numpy. At any time you find yourself interested in the formal definitions of such concepts — whether before the pump of intuition, in between, or after — you are encouraged to visit §Intermezzo One: The Language of Continuous Mathematics.

Demo 1.1

Consider the sentence “Hello world, nice to meet you” and feed it into GPT-2 with the words “meet you” missing. When you click the button “predict”, GPT-2 produces a list of real numbers approximately represented by floating points that are between 0 and 1 and sum (or normalize) to 1, which is called a distributiondistribution, because it is distributing truth across a weighted set of values, or in other words, it’s uncertaintyuncertainty. Each number represents the probabilityprobability, chancechance, likelihoodlikelihood, or beliefbelief that GPT-2 assigns to an outcomeoutcome, which in this case is the next word.

But rather than produce a distribution with two outcomes like a coin, six outcomes like a die, or fifty two outcomes like cards, it produces one for $∣ V ∣$ outcomes, where $V$ is the set of words in some vocabulary. The size of GPT-2’s vocabulary is 50257, and the list of probabilities you see in Demo 1.1 are the top 10 most likely. As a first approximation, it’s not incorrect to view large language models as an urn containing a ball labeled with each word in the vocabulary. However, it’s important to note in the case of language that some balls are weighted heavier than others.

To be more precise, because we are passing an input sentence, such a distribution is a conditional distributionconditional distribution. That is, GPT-2 is producing the distribution of the next word conditioned on the sequence of words passed in as input, and is denoted by

$p (w given ∣ input sentence)$

and with Demo 1.1, evaluating GPT-2 is equivalent to $p (w ∣ Hello world, nice to)$ . More accurately, each number in that list of probabilities is the chance that GPT-2 assigns a random variablerandom variable taking on a specific outcome. A random variable is like a deterministic variable in that it can take on values, but rather than being assigned one specific value, it can possibly take on many with a certain degree of chance. A random variable’s distribution then corresponds to an array or list of values which we call a distribution because it distributes the truth or state of the random variable across many outcomes.

In the case of GPT-2, the conditional distribution $p (w ∣ h)$ ’s random variable is denoted with $W ∣ H$ . To make random variables more explicit, some people will denote distributions with their random variables included, which in our case of a conditional distribution over next words, is $p (W = w ∣ H = h)$ or $p_{W ∣ H} (w ∣ h)$ . However, this brings us to our next point which is that with conditional distributions, the random variable being conditioned on is actually no longer random, because it is assumed that it has already taken on a value, in this case $h \in R^{4}$ where $h_{0} = Hello$ , $h_{1} = world$ , $h_{2} = nice, h_{3} = to$ . So, with $p_{W ∣ H} (w ∣ h)$ more generally, there is no randomness associated with the history $h$ . Let us print the distribution over the next word that GPT-2 produces given the history $Hello world, nice to$ from Demo 1.1:

In [1]:

import numpy as np

# The same GPT-2 output distribution p(w | "Hello world, nice to") from above, top 10 of 50257 words
# (renormalized so this top-10 slice sums to 1)
vocab = ["see", "meet", "hear", "have", "be", "know", "you", "talk", "say", "get"]
probs = np.array([0.387361, 0.154993, 0.152304, 0.127857, 0.057572, 0.043027, 0.039115, 0.015646, 0.013935, 0.008190])

print("Asking GPT-2 what is p(w|Hello world, nice to):")
for i in np.argsort(-probs):
    print(f"{vocab[i]} : {probs[i]:.4f}")
print(f"Total sum of p(w|Hello world, nice to): {probs.sum():.4f}")

Asking GPT-2 what is p(w|Hello world, nice to):
see : 0.3874
meet : 0.1550
hear : 0.1523
have : 0.1279
be : 0.0576
know : 0.0430
you : 0.0391
talk : 0.0156
say : 0.0139
get : 0.0082
Total sum of p(w|Hello world, nice to): 1.0000

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

order = np.argsort(-probs)
plt.figure(figsize=(6, 3))
plt.bar([vocab[i] for i in order], probs[order], color="#0072B2")
plt.ylabel("p(w | 'Hello world, nice to')")
plt.title("GPT-2 next-token distribution (top 10)")
plt.tight_layout()
plt.show()

Where the state of $W ∣ H$ is being spread across 50257 possible outcomes of GPT-2’s vocabulary. Each index i of the probs array corresponds to a value in the token outcomes tokens[i], with each probs[i] corresponding to the chance, or possibility, of the random variable taking on the value tokens[i]. That is, what connects the weighted array tokens and the state space probs is the index i. It is more accurate then, to describe a random variablerandom variable as states represented by indices $i \in N$ , and the type of a distribution $p$ ends up being some function $p : N \to [0, 1]$ that sends states of indices to their probabilities, such that for all $n \in N, p (n) \geq 0$ and $n \in N \sum = 1$ . In general, any list of values between 0-1 and normalizes to 1 is a valid distribution. These properties are referred to as non-negativity and normalization respectively. We can validate that probs is a valid distribution by verifying that each probability is between 0-1 and the distribution normalizes to 1However, since we are only including the top 10 most likely words out of 50256, we’ve re-normalized probs so that the total sum of probs is 1. The original sum is 0.8181, with the other 1-0.8181=0.1819 spread across the other 50256-10=50246 unseen words.. Moreover, since the space of possible outcomes has size of 50257, the random variable $W ∣ H$ is said to be a discrete random variablediscrete random variable with a probability mass functionprobability mass function as opposed to a continuous random variable with a probability density functionprobability density function.

experimentexperiment trialtrial frequencyfrequency

$↩$ Table of Contents (§1.1 From Certain to Uncertain Knowledge)

In [3]:

rng = np.random.default_rng()

n = 10_000_000
target_e = "see"

# p must normalize to 1, so we renormalize our top-10 slice of the distribution
p = probs / probs.sum()
# draw all n samples at once, according to p(w | "Hello world, nice to")
outcomes = rng.choice(vocab, size=n, p=p)

prob_e = p[vocab.index(target_e)]
freq_e = np.mean(outcomes == target_e)
print(f"the expected probability of \"{target_e}\" is {prob_e}")
print(f"the actual frequency of \"{target_e}\" in {n} trials is {freq_e}")

the expected probability of "see" is 0.387361
the actual frequency of "see" in 10000000 trials is 0.3872915

1.1.2 Probability as Array Programming

You may have also noticed that the output distribution is not a vanilla Python list, but rather one initialized with borscht.tensor(array_like)borscht.tensor(array_like) which constructs the multidimensional arraymultidimensional array borscht.Tensor from a vanilla Python list. While we will gradually become more intimately familiar with multidimensional arrays such as the borscht.Tensor throughout the course of this adventure, in the current case of probs, it’s a vector with support in $R^{∣ V ∣}$ ,

Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra (3Blue1Brown)

In [4]:

print("gpt-2's output distribution is stored with an np.ndarray rather than a vanilla python list")
print(f"probs.shape {type(probs.shape)}: {probs.shape}")
print(f"probs.dtype {type(probs.dtype)}: {probs.dtype}")

gpt-2's output distribution is stored with an np.ndarray rather than a vanilla python list
probs.shape <class 'tuple'>: (10,)
probs.dtype <class 'numpy.dtypes.Float64DType'>: float64

The notebook cell above verifies probs is a vector $v \in R^{10}$ with the two primary properties of an ndarray, namely borscht.Tensor.shape and borscht.Tensor.dtype: probs.shapeborscht.Tensor.shape and probs.dtypeborscht.Tensor.dtype evaluating to (10,) and dtype64 respectively means it’s a vector with support in $R^{10}$ whose real values are being approximately represented with double precision floating point numbers. For now, we take the computer science perspective of a vectorvector, which is simply a list of numbers, without any induced geometry:

In the video, 3Blue1Brown mentions that vector can be viewed as a fancy word for a list, which is viewing vectors from the data-oriented perspective. For instance probs being some vector $v \in R^{10}$ . But if you squint your eyes and view the probs array from the functional perspective, is it some function $p : N \to R$ statistical learningAlso, if you squint your eyes at the hashmap data structure (in Python a dict) with the functional perspective, it’s a function $ma p : str \to T$ . In fact, there was a Names Tensor: (Tensor Considered Harmful) proposal by Alexander Rush for treating and viewing tensors more like dicts rather than tuples..

In [5]:

print(f'0 ({vocab[0]}) -> {probs[0]}')
print(f'1 ({vocab[1]}) -> {probs[1]}')
print(f'2 ({vocab[2]}) -> {probs[2]}')

0 (see) -> 0.387361
1 (meet) -> 0.154993
2 (hear) -> 0.152304

That is, the notation $R^{10}$ can be viewed as a function $f : {1, \dots, 10} \to R$ , or more generally for $R^{n}$ , the function $f : N \to R$ . The two notations are equivalent!

Important

Probability can be seen as array programming! Every valid distribution which is some function $p : N \to [0, 1]$ whose values are between 0 and 1 and normalizes to 1 has a corresponding borscht.Tensor with .shape of (todo).

Returning to the focal point of probability and GPT-2’s conditional distribution $p (w ∣ h)$ , we now know that it corresponds with an ndarray whose .shape is (50256,), or in other words some vector $x \in R^{50256}$ . More generally, an ndarray with .shape of (V), corresponds to a vector with a support $x \in R^{∣ V ∣}$ , where $V$ is the vocabulary. (todo: context-length is dimensionality of $h$ ). For convenience sake, we analyzed the top 10 probabilities with an ndarray whose .shape was (10,), which corresponded to a vector $x \in R^{10}$ .

outcomes -> events

todo eventevent
todo probability of ORprobability of OR
todo sum rulesum rule

import numpy as np

# The same GPT-2 output distribution p(w | "Hello world, nice to") from above, top 10 of 50257 words
tokens = ["see", "meet", "hear", "have", "be", "know", "you", "talk", "say", "get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs = []
for token, prob in zip(tokens, probs):
    stripped = token.strip()
    starts_with_h = stripped.startswith("h")
    starts_with_s = stripped.startswith("s")
    contains_a = "a" in stripped
    if (starts_with_h or starts_with_s) and contains_a:
        tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs.append(prob)

prob_starts_with_h_or_s_and_contains_a = sum(tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs)

print(f"probability that word starts with letter h: {prob_starts_with_h}")
print(f"probability that word starts with letter s: {prob_starts_with_s}")
print(f"probability that word starts with letter h or s: {prob_starts_with_h + prob_starts_with_s}")
print(f"probability that word starts with letter h or s, and contains letter a: {prob_starts_with_h_or_s_and_contains_a}")

todo: numpy vectorization

So when you ask an LLM a question, it generates a full answer (with many sentences) word by word by repeating the following loop:

evaluating the probability of the next word conditioned on the input
selecting (or sampling) a word. halt if the word is the special END word.
appending it to the existing text, and evaluating the probability again with the modified input

Now that you understand the basics of language modeling, the trillion dollar question is how to produce such a conditional distribution $p (w ∣ h)$ ? In some sense that’s all there is to large language models.

1.2 Next Token Prediction is Classification and Compression

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

In which we introduce the terminology of software 2.0 in the context of language modeling; the joint, marginal, conditional with multidimensional arrays, reductions, and broadcasting; implement our first language model by maximizing the likelihood of biased ngrams; evaluate said model’s limits with information theoretical and probabilistic quantities such as perplexity, entropy, bias variance tradeoff, the curse of dimensionality; and finally, understand intelligence more generally as compression.

1.2 Next Token Prediction is Classification

1.2.1 The Estimation of Software 2.0

After §1.1 From Certain to Uncertain Knowledge, you are now initiated with the basics of language modeling where models such as GPT-2 are conditional distributions of a sentence’s next word given those that have already occured, namely $p (w ∣ h)$ . For instance, with the input text "Hello world, nice to meet" as the history $h$ , GPT-2 produces a conditional distribution with an ndarray of .shape (V,) which corresponds to a vector with support in $R^{∣ V ∣}$ — since we are only taking the top 10 most likely words though, .shape is (10,) with support in $R^{10}$ . We now shift our attention from using language models to implementing ones, namely the conditional distribution $p (w ∣ h)$ GPT-2. We will incrementally increase the expressivity of our models culminating with GPT-2’s transformer architecture in Part II. Deep Neural Networks. But for now, we start with the basics and return to first principles.

As mentioned in the previous chapter, large language models are trained using methods from the discipline of deep learningdeep learning, which in turn are based in machine learningmachine learning, which in turn are based in statistical learningstatistical learningActually, the implementation of learning is not just limited to the stochastic and infinitely continuous methods of software 2.0, more classically known as connectionism. It’s also possible to implement with logical and finitely discrete methods of software 1.0 (symbolism), albeit with much less success. See inductive logic programming also known as reverse deduction https://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_logic_programming., which in turn are based in statistical inferencestatistical inference, which in turn employs the use of statistical estimationstatistical estimation. What the heck are the meanings of all these terms? Roughly speaking, people in the business of estimation like AI researchers at frontier labs are given data (in statistical jargon, observe samples) such as the internet and would like to estimate distributions (of the population) from said data, namely a $p (w ∣ h)$ like GPT-2. Estimation of distributions is one possible activity of making inferences from data — as opposed to simply describing data See https://en.wikipedia.org/wiki/Descriptive_statistics. — another useful form of inference is hypothesis testingSee https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_hypothesis_test., the process of deciding whether observed data provide sufficient evidence to reject a null hypothesis. Estimation however is the primary statistical tool used as opposed to hypothesis testing, and once a distribution like $p (w ∣ h)$ is estimated from data by research labs, users can use such a distribution in order to generate sentences — hence this most recent wave of statistical methods from software 2.0 being coloquially known as genaigenai, other previous monikers being big databig data, data miningdata mining, data sciencedata science, and pattern recognitionpattern recognition — with an inference loop, namely predicting a distribution over the next token, sampling and appending a token to the history and repeating.

Generally speaking, the difference in direction of estimating a distribution from data versus generating data from a distribution is the primary distinction between probability and statistics, although the line as we will soon see gets quite blurrysynthesisIn the same way traditional data and function blurs with software 1.0, since functions are also data.. This distinction between the two is more broadly known as the difference between analysisanalysis and synthesissynthesisSee https://plato.stanford.edu/entries/analytic-synthetic/. Researchers analyze the observed data of the internet and recover an estimated distribution whereas users synthesize data and generate sentences. Sometimes they are referred to with direction in time: synthesis is the forward direction whereas analysis is the backward or inverse. Throughout the book, we will incrementally explore increasingly expressive languge models that can do a better job at recovering $p (w ∣ h)$ from data.

The availibility of said data determines the regime of statistical learning. That is, if sample data is available in the form of input-output pairs $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 1}^{n}$ , then the regime is known to be supervised learningsupervised learning, for the machine that is attempting to learn a distribution via induction is being supervised with the expected outputs, whereas the regime where such data is unavailable is known as unsupervised learningunsupervised learning. Where in unsupervised learning the goal of inference is that of understanding (todo, foreshadow ebm?) like clustering or dimensionality reduction, in the regime of supervised learning the goal is the aforementioned statistical estimation of a function that predicts the expected output given the input. For instance, with the following supervised dataset (todo):

$d :=} {(x^{(1)} "Hello world, nice to", y^{(1)} "meet") ("Hello world, nice to", "see") ("Hello world, nice to", "finally") ("Hello world, nice to", have")$

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

In [4]:

print("--- DATA ---")

d: list[str] = open('./data/names.txt', 'r').read().splitlines()
D: int = len(d)

for di in d[:3]: # loop through the dataset ..
  print(f'a single word di {di} has many examples')
  for h,w in zip(di, di[1:]): # .. in a self-supervised manner
    print(f'our machine learner is being supervised output {w} for input {h}!')

--- DATA ---
a single word di emma has many examples
our machine learner is being supervised output m for input e!
our machine learner is being supervised output m for input m!
our machine learner is being supervised output a for input m!
a single word di olivia has many examples
our machine learner is being supervised output l for input o!
our machine learner is being supervised output i for input l!
our machine learner is being supervised output v for input i!
our machine learner is being supervised output i for input v!
our machine learner is being supervised output a for input i!
a single word di ava has many examples
our machine learner is being supervised output v for input a!
our machine learner is being supervised output a for input v!

The goal of language modelling then is to estimate some function $f$ that when given input text $x$ , predicts the next word $y$ . That is, some function $f : X \to Y$ , where $X$ is the input space of all possible sentences, and $Y$ is the output space of all possible next words. To construct such input and output spaces, recall that a space of all words is the set $V$ , which contains the words in a language model’s vocabulary. Then, a sentence is any $t$ -length finite sequence $(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{t})$ of such words, and the set of all possible sentences of length $t$ is the cartesian product $t times V \times \dots \times V$ , denoted with $V^{t}$ . This means, the space of all such sentences for all values $t$ is the union of sets $\cup_{t = 0}^{\infty} V^{t}$ denoted by $V^{*}$ , and so finally, the target function to be estimated in language modelling has the form $f : V^{*} \to V$ . That is, the input space $X := V^{*}$ is the set of all possible sentences, and the output space $Y := V$ is the set of all possible words.

Moreover, the regime of supervised learning is further refined depending on the kind of output the estimated function is predicting. In the case of a categorical output, the supervised learning is known as classificationclassification for the machine’s goal (the estimated function’s output) is trying to classify the input’s category. The function $f$ is known as a classifier or discriminant functiondiscriminative function since it is classifying or discriminating an input $x \in X$ as a particular $y \in Y$ . Language modelling in particular is considered classification because given the input sentence $s \in V^{*}$ , the next most likely token is being classified out of all tokens $v \in V$ . This stands in contrast to the case when the output that the estimated function is predicting is quantitative, which is known as regressionregression. But for the classification of language modeling, how do we reconcile the goal of estimating some function $f : V^{*} \to V$ , when GPT-2 is the probability distribution $p (w ∣ h)$ which is a function of type $p_{W} : N \to [0, 1]$ ? This motivates the distinction between what is known as the inferenceinference and decisiondecision steps of classification where in the inference stage a distribution $p (y)$ over the output space $Y$ is first produced, subsequently followed by a decision stage which makes the assignment of $x$ by selecting a specific $y$ .

Somewhat more confusingly, depending on the domain or context of statistical modeling, the terminology for inputs $x$ and outputs $y$ might be further refined. That is, inputs and outputs are also respectively referred to as independent variableindependent variable and dependent variablesdependent variable, as well as predictorspredictors and responsesresponses in the context of experimental design. They can also be referred to as featuresfeatures and targetstargets. The difficulty of naming is not limited to the discipline of programmingSee https://martinfowler.com/bliki/TwoHardThings.html. Whatever you want to call them, at the heart of statistical learning, machine learning and deep learning is the activity of estimation, or approximations functions with inputs and outputs. two cultures of statisticstwo cultures of statistics

Warning

(todo, cleanup also add the two culture parsing/interpretation of the term.) Inference is an overloaded term, and hence ambiguous without context! In generative AI the term inference refers to the forward process of evaluating a population’s distribution $p (w ∣ h)$ in order to generate samples via prediction. In classical statistics the term inference refers to the backward process of inferring a population’s distribution from observed samples (todo estimation and hypothesis testing). Unfortunately terminology and jargon is just like syntax with programming languages! You will need to adjust the meaning of symbols depending on the context, which to foreshadow is precisely what the attention mechanism behind GPT-2’s transformer architecture ends up achieving.

1.2.2 Multidimensional Arrays with the Joint, Marginal, and Conditional

Now that we understand the process of language modelling is to estimate a classifying discriminator $f : V^{*} \to V$ which assigns a next word $v \in V$ given a sentence $s \in V^{*}$ under a self-supervised setting with access to input-output paired data $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 1}^{n}$ , how do we actually go about estimating the distribution $p (w ∣ h)$ ? We know that $p_{W ∣ H} (w ∣ h)$ denotes the conditional distribution of the next word given the history of sentence thus far, we know this distribution corresponds to a borscht.Tensor with .shape (V), and we know the function type is $p_{W ∣ H} : V^{*} \to Δ^{∣ V ∣}$ (todo: $Δ^{∣ V ∣}$ can be viewed as $∣ V ∣ \to R$ ) which maps sentences to distributions over next words, but what is the actual function body or definition of a conditional distribution?

First, let us modify our notation, unravelling the history vector $h$ into individual word components $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}$ so that $p (w_{t + 1} ∣ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ denotes the conditional probability of t+1’th word given the previous t words.

Let us first start by generalizing the notion of a distribution of a single random variable $p_{X} : N \to R$ corresponds to a flat array of real-valued numbers satisfying non-negativity and normalization to that of a joint distributionjoint distribution, defined as a high dimensional function $p_{X_{1}, \dots, X_{t}}$ with type $p_{X_{1}, \dots, X_{t}} : R \times \dots \times R \to [0, 1]$ corresponding to a multidimensional array, with both mapping the values of $t$ random variables to their probabilitiesAs we will see shortly, we use $t$ for time since language has a sequential order, given that $n$ already denotes the length of the dataset $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 0}^{n}$ . Naming is hard!. That is, evaluating $p_{X_{1}, \dots, X_{t}} (x_{1}, \dots, x_{t})$ produces a single probability for random variable $X_{1}$ taking on the value $x_{1}$ and $X_{2}$ taking on the value $x_{2}$ and so on, up until the random variable $X_{t}$ taking on the value $x_{t}$ — the commas are read as “and” (todo, better explanation?). Because the joint can be a distribution of two random variables, three, up to an arbitrary t, it’s often vectorized as $p_{X} (x)$ .

In the case of (probabilistic) language modeling, the primary joint distribution of interest is the probability of a fixed t lengthed sentence occuring, which is $p_{W 1, W 2, \dots, W_{t}} (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ or $p (w)$ with $w \in R^{t}$ , where the $W_{i}$ ’th random variable represents the $i$ ’th word in the $t$ -lengthed sentence. For instance, $p (w_{1} = Hello, w_{2} = nice, w_{3} = to, w_{4} = meet, w_{5} = you)$ is the probability of the complete sentence "Hello nice to meet you" (todo, instead of distribution over words, it’s a distribtion over sentences).

Warning

Note with the random variables being modeled the way they are (that is, with order) that the joint $p (w_{1}, \dots, w_{t})$ is commutative. For instance, with $n := 2$ , $p (w_{1}, w_{2}) = p (w_{2}, w_{1})$ . For instance, semantically speaking, $p (w_{1} = Hello, w_{2} = world) = p (w_{2} = world, w_{1} = Hello)$ is saying that the probability of the first word being “hello” and the second word being “world” is equal to the probability of the second word being “world” and the first word being “hello”. This holds more generally for any permutation of $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}$ .

With us defining the notion of a joint probability as a multidimensional array, it’s probably no surprise that the joint distribution $p_{w} (w)$ corresponds to a borscht.Tensor with .shape (V,...,V) where .ndim is t. That is, .shape is a t-lengthed tuple. Take a look at Figure 1.2.2 below:

Figure 1.2.2Alas, we failed to not use $n$ here. This $n$ is not the same $n$ as the length of the dataset (todo, you already introduced $R^{n}$ before you introduced $d$ ..).

In particular, let us consider the joint distribution of two random variables $p_{X, Y}$ , whose 2 dimensional surface can be plotted. This distribution has type $p_{X, Y} : N \times N \to R$ , which corresponds to a borscht.Tensor with a .shape of (n,m) — a matrixmatrix supported in $R^{n \times m}$ , or in other words, a $n$ by $m$ rectangular array that maps indices in ${0, 1, \dots, n} \times {0, 1, \dots, m}$ to their values in $R$ . The code example initializes a matrix with np.zeros((n,m)), presumably populates it with values, and plots the surface with ax.plot_surface().

The joint of three random variables $p_{X, Y, Z} : N \times N \times N \to R$ is plotted as what is known as a voxel plot (it’s difficult to see 4 dimensions alltogether), which corresponds to a borscht.Tensor with a .shape of (n,m,p) — a tensortensor supported in $R^{n \times m}$ , a cubic array that maps indices in ${0, 1, \dots, n} \times {0, 1, \dots, m} \times {0, 1, \dots, p}$ to their values in $R$ . (todo, remark on naming with tensor.) Similarly, the tensor is initialized with np.zeros((n,m,p)), is filled with values, and is plotted with ax.voxels(x).

Important

Once again, probability can be viewed as array programming! (go to previous important remark, and complete todo)

Warning

A 10-dimensional vector is some $x^{(1)} \in R^{10}$ . A 100-dimensional vector is some $x^{(2)} \in R^{100}$ . Both vectors $x^{(1)}$ , and $x^{(2)}$ , have a rank of 1, hence why they are both considered vectors. Unfortunately with numpy a rank is stored under the ndarray.ndim attribute.

So, an array whose ndarray.ndim evaluates to 2 is not some vector $x^{(3)} \in R^{2}$ but rather, an array that is some matrix $x^{(4)} \in R^{n \times m}$ , where $n$ and $m$ are unknown since ndarray.shape was not supplied. Conversely, a multidimensional array is not simply a flat array with arbitrary length $n$ to corresponding to any vector in $R^{n}$ , but rather an array with arbitrary rank $n$ corresponding to any tensor $x^{(4)} \in R^{d_{1} \times d_{2} \times \dots \times d_{n}}$ . That is, multidimensional arrays are more accurately described as multirank arrays!

Returning to the joint distribution of interest to language modeling, namely the probability of a sentence taking on specific words $p (W_{1} = v_{i}, W_{2} = v_{i}, \dots, W_{t} = v_{i})$ where $v_{i} \in V$ , let $t := 2$ so that we can consider the joint of two random variables $p (W_{1} = v_{i}, W_{2} = v_{j})$ , which corresponds to a matrix represented by a ndarray with .shape of (V,V), in this case (5,5). In Figure 1.2.3, the surface on the left and the matrix on the right represent the same distribution $p_{W_{1}, W_{2}} (v_{i}, v_{j})$ . These values are one possible assignment to the function body $p_{W_{1} \times W_{2}} : N \times N \to R$ , or equally, one possible assignment to the ndarray. For instance, we see that $p_{W_{1}, W_{2}} (to, meet) = 0.16$ . (todo, it’s really $p (W_{1} = 3, W_{2} = 4)$ . (todo, table is technically infinite. t is not fixed.). Note that the corresponding $v_{i} \in V$ is provided, even though the distribution is defined on $N$ .

Figure I.2.3

modify left figure to highlight the 0.15 and 0.16s
why is the marginal a uniform (0.2)?

For a single random variable $W_{i}$ , we can see that the truth of it’s state is indeed distributed across the vocabulary $V$ . For instance, scanning the blue arrow from top to bottom, we see that state of random variable $W_{1}$ is distributed across five words. In particular, for one of those values $i = 3$ which corresponds to $to$ , it’s state in of itself is distributed across $W_{2}$ with the orange arrow from left to right. For instance, the chance of "to meet"should be more likely than "to to". The code for this joint is the transliteration of the matrix from Figure I.2.3 into borscht.Tensor with .shapeof (5,5):

In [27]:

print("--- JOINT ---")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

v: list[str] = ['Hello', 'world', 'nice', 'to', 'meet']
V: int = len(v)
toi, meeti = 3, 4

# Figure I.2 as an ndarray every cell is the joint probability of a (previous word, next word) pair.
p_VV = np.array([                     #  w_t: Hello world  nice    to  meet
  [0.01, 0.15, 0.01, 0.02, 0.01],       #  w_{t-1} = Hello  (i=0)
  [0.01, 0.01, 0.16, 0.01, 0.01],       #  w_{t-1} = world  (i=1)
  [0.01, 0.01, 0.01, 0.16, 0.01],       #  w_{t-1} = nice   (i=2)
  [0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.16],       #  w_{t-1} = to     (i=3)
  [0.14, 0.02, 0.01, 0.02, 0.01],       #  w_{t-1} = meet   (i=4)
])
assert p_VV.shape == (V, V)
assert np.isclose(p_VV.sum(), 1.0)    # normalization, over the *whole* table
print(f'vocab: {v}')
print(f'p(w_(t-1), w_t) as {p_VV.shape} ndarray:\n{p_VV}')
plt.figure(figsize=(2, 2))
plt.imshow(p_VV, cmap='Blues')
plt.show()
print(f'p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = {p_VV[toi, meeti]:.2f}')

--- JOINT ---
vocab: ['Hello', 'world', 'nice', 'to', 'meet']
p(w_(t-1), w_t) as (5, 5) ndarray:
[[0.01 0.15 0.01 0.02 0.01]
 [0.01 0.01 0.16 0.01 0.01]
 [0.01 0.01 0.01 0.16 0.01]
 [0.01 0.01 0.01 0.01 0.16]
 [0.14 0.02 0.01 0.02 0.01]]

p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = 0.16

Let us note two technical aspects of borscht. The first place to draw your attention to is in the particular choice of naming the joint distribution as p_VV. The _VV suffix is documentation-based coding brought back from the deadSee Hungarian notation https://en.wikipedia.org/wiki/Hungarian_notation. Also see Google’s C++ Style Guide — a somewhat representative and perhaps canonical standard of most source conventions — frown on Hungarian notation. Finally see Named Tensor (Tensor Considered Harmful) (Rush) and Named Tensor Notation (Chiang et al.,). as a reading aid to humans and fellow LLMs to denote that the borscht.Tensor has a .shape of (V, V), where in this case V evaluates to 5. We even assert such fact with assert p_VV.shape == (V, V). Such judgement can actually be enforced by typechecking dynamically at runtime with the jaxtyping Python package, particularly Float[np.ndarray, "V V"] (expand on jaxtyping and python typechecking):

In []:

print("--- JOINT ---")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from jaxtyping import Float, jaxtyped
from beartype import beartype

v: list[str] = ['Hello', 'world', 'nice', 'to', 'meet']
V: int = len(v)
toi, meeti = 3, 4

# Figure I.2 as an ndarray
p_VV = np.array([
  [0.01, 0.15, 0.01, 0.02, 0.01],
  [0.01, 0.01, 0.16, 0.01, 0.01],
  [0.01, 0.01, 0.01, 0.16, 0.01],
  [0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.16],
  [0.14, 0.02, 0.01, 0.02, 0.01],
])

@jaxtyped(typechecker=beartype)
def printp_VV(p_VV: Float[np.ndarray, "V V"]):
  assert np.isclose(p_VV.sum(), 1.0)    # normalization, over the *whole* table
  print(f'vocab: {v}')
  print(f'p(w_(t-1), w_t) as {p_VV.shape} ndarray:\n{p_VV}')
  plt.figure(figsize=(2, 2))
  plt.imshow(p_VV, cmap='Blues')
  plt.show()                            # flush *now*, else inline defers it to end of cell
  print(f'p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = {p_VV[toi, meeti]:.2f}')

printp_VV(p_VV)
p_VV = np.zeros(3)
printp_VV(p_VV)

--- JOINT ---
vocab: ['Hello', 'world', 'nice', 'to', 'meet']
p(w_(t-1), w_t) as (5, 5) ndarray:
[[0.01 0.15 0.01 0.02 0.01]
 [0.01 0.01 0.16 0.01 0.01]
 [0.01 0.01 0.01 0.16 0.01]
 [0.01 0.01 0.01 0.01 0.16]
 [0.14 0.02 0.01 0.02 0.01]]

p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = 0.16
(3,)

TypeCheckError: Type-check error whilst checking the parameters of __main__.printp_VV.
The problem arose whilst typechecking parameter 'p_VV'.
Actual value: f64[3](numpy)
Expected type: <class 'Float[ndarray, 'V V']'>.
----------------------
Called with parameters: {'p_VV': f64[3](numpy)}
Parameter annotations: (p_VV: Float[ndarray, 'V V']) -> Any.

The function printp_VV takes a parameter p_VV with type Float[np.ndarray, "V V"], so the first invocation with the argument p_VV itself passes. Mutating p_VV to alias a borscht.Tensor with .shape (3,) and applying the function a second time results in a type error.

Second, notice how the value of $p_{W_{1}, W_{2}} (to, meet)$ is retrieved with p_VV[toi, meeti]. (todo, curry by indexing into first or second):

In [24]:

print(f'p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = {p_VV[3, :]}')
print(f'p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = {p_VV[:, 4]}')

p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = [0.01 0.01 0.01 0.01 0.16]
p(w_(t-1)=to, w_t=meet) = [0.01 0.01 0.01 0.16 0.01]

Now, with borscht technicalities of shape suffixes and indexing aside, let us move onto the next probabilistic concept of the marginal. From this joint distribution of two random variables $p_{W_{1}, W_{2}}$ , we can recover both distributions of single random variables $p_{W_{1}}$ and $p_{W_{2}}$ . Consider again that second “level” of distribution. That is, the specific state of $W_{1} = to$ being distributed in of itself across the first row of the matrix according to $W_{2}$ . We can “take out” the randomness of $W_{2}$ by summing all the entries in the first row, and no longer have this second level or axis of state being distributed, and are simply left with $p_{W_{1}} (to) = 0.2$ . In general, for any $v_{i}$ , we have that $p_{W_{1}} (v_{i}) = v_{j} \in V \sum p_{W_{1}, W_{2}} (v_{i}, v_{j})$ . Note that $v_{i}$ is fixed! In the context of recovering a distribution of a single random variable from a joint distribution, such single random variable distribution is referred to as the marginal distributionmarginal distribution.

Transliterating this to borscht, we use borscht.Tensor.sum()borscht.Tensor.sum reduce operationreduction (expand):

In [2]:

print("--- MARGINAL ---")
pW1_V = p_VV.sum(axis=1) # sum over W_2
pW2_V = p_VV.sum(axis=0) # sum over W_1
assert np.isclose(pW1_V.sum(), 1.0) and np.isclose(pW2_V.sum(), 1.0)
print(f'p(w_(t-1)) as {pW1_V.shape} ndarray (row sums): {pW1_V}')
print(f'p(w_t)     as {pW2_V.shape} ndarray (col sums): {pW2_V}')

--- MARGINAL ---
p(w_(t-1)) as (5,) ndarray (row sums): [0.2 0.2 0.2 0.2 0.2]
p(w_t)     as (5,) ndarray (col sums): [0.18 0.2  0.2  0.22 0.2 ]

(todo: generalize for $t$ randvars) torch.sum

After generalizing the notion of a distribution into a joint distribution, and recovering marginals from said joint, we are now finally ready to backtrack to refining the notion of the conditional. $p_{W_{1}, W_{2}} (to, meet) = \frac{0.16}{0.2} = 0.8$ .

Tensor Puzzles (Sasha Rush, Marcos Treviso)

In []:

# CONDITIONING is the joint over the marginal being conditioned on. keepdims
# holds the row sums at (V,1) so they broadcast back across the (V,V) joint,
# dividing each row by its own total -- ie. *renormalizing* the row.
pW2condW1_VV = p_VV / p_VV.sum(axis=1, keepdims=True)
assert np.allclose(pW2condW1_VV.sum(axis=1), 1.0)  # now every *row* sums to 1

print(f'\np(w_t|w_(t-1)) as {pW2condW1_VV.shape} ndarray:\n{pW2condW1_VV}')
print(f'every row sums to {pW2condW1_VV.sum(axis=1)}')
i_to, j_meet = toi, meeti
print(f'\np(meet|to) = p(to,meet)/p(to) = {p_VV[i_to,j_meet]:.2f}/{pW1_V[i_to]:.2f} = {pW2condW1_VV[i_to,j_meet]:.2f}')

p(w_t|w_(t-1)) as (5, 5) ndarray:
[[0.05 0.75 0.05 0.1  0.05]
 [0.05 0.05 0.8  0.05 0.05]
 [0.05 0.05 0.05 0.8  0.05]
 [0.05 0.05 0.05 0.05 0.8 ]
 [0.7  0.1  0.05 0.1  0.05]]
every row sums to [1. 1. 1. 1. 1.]

p(meet|to) = p(to,meet)/p(to) = 0.16/0.20 = 0.80

More generally, broadcastingbroadcasting broadcast divide

conditional distributionconditional distribution

$conditional p_{W ∣ H} (w ∣ h) = △ \frac{p _{W, H} ( w , h ) joint}{marginal p _{H} ( h )}$

so, the conditional is defined as the joint over the marginal distribution that is being conditioned on. chain rulechain rule product ruleproduct rule (decomposing a joint of sentences with a chain of conditionals over words requires proof (ntermezzo).)

1.2.3 Counting Markov Biased Histograms

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

(todo, explain data d)
simplest idea: unbiased estimator count the relative frequency (which is the MLE) $\frac{h , w}{h}$
need chain/product rule here. but do not introduce bayes rule, for that will introduce discriminant vs generative modeling.
intractable, so need to introduce bias. with markov assumption (truncated conditional in chain rule)

Rather than strive for perfection, we can achieve the good by introducing some biasbias, known as the Markov assumptionmarkov assumption.

In [6]:

print("--- DATA ---")
import numpy as np

d: list[str] = open('./data/names.txt', 'r').read().splitlines()
D: int = len(d)
v: list[str] = ['.'] + sorted(list(set(''.join(d)))) # with . as the start token and end token, to remove counting freq of (<E>*) and (*<S>) which are all 0
V: int = len(v)
c2i: dict[str, int] = {c:i for i,c in enumerate(v)}

print(f'dataset: {d}')
print(f'vocab (sample space): {v}')
print(f'I: V -> N: {c2i}')

--- DATA ---
dataset: ['emma', 'olivia', 'ava', 'isabella', 'sophia', 'charlotte', 'mia', 'amelia', 'harper', 'evelyn', 'abigail', 'emily', 'elizabeth', 'mila', 'ella', 'avery', 'sofia', 'camila', 'aria', 'scarlett', 'victoria', 'madison', 'luna', 'grace', 'chloe', 'penelope', 'layla', 'riley', 'zoey', 'nora', 'lily', 'eleanor', 'hannah', 'lillian', 'addison', 'aubrey', 'ellie', 'stella', 'natalie', 'zoe', 'leah', 'hazel', 'violet', 'aurora', 'savannah', 'audrey', 'brooklyn', 'bella', 'claire', 'skylar', 'lucy', 'paisley', 'everly', 'anna', 'caroline', 'nova', 'genesis', 'emilia', 'kennedy', 'samantha', 'maya', 'willow', 'kinsley', 'naomi', 'aaliyah', 'elena', 'sarah', 'ariana', 'allison', 'gabriella', 'alice', 'madelyn', 'cora', 'ruby', 'eva', 'serenity', 'autumn', 'adeline', 'hailey', 'gianna', 'valentina', 'isla', 'eliana', 'quinn', 'nevaeh', 'ivy', 'sadie', 'piper', 'lydia', 'alexa', 'josephine', 'emery', 'julia', 'delilah', 'arianna', 'vivian', 'kaylee', 'sophie', 'brielle', 'madeline', 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'maxxwell', 'mayceon', 'mayes', 'mayukh', 'maziah', 'maziar', 'mccall', 'mclaren', 'mehar', 'mehul', 'meison', 'meko', 'melakhi', 'melik', 'melquisedec', 'memphys', 'merari', 'meryk', 'messian', 'mesziah', 'metin', 'meyers', 'mher', 'michaiah', 'michail', 'michale', 'mihail', 'miken', 'mikyng', 'mila', 'moaaz', 'moaz', 'moeez', 'mohamadou', 'mohammadomar', 'mohith', 'moiz', 'mokshagna', 'momen', 'monta', 'montarius', 'monterio', 'montie', 'morgen', 'morireoluwa', 'mosawer', 'mosese', 'moti', 'mouhamad', 'mowgli', 'moyses', 'mucaad', 'mucad', 'mudasir', 'muhammadibrahim', 'muhammadmustafa', 'musiq', 'muzzammil', 'mykhail', 'mykol', 'myzell', 'nacari', 'nace', 'naftuly', 'nahir', 'nahome', 'nahun', 'nahzier', 'naiel', 'najeeb', 'nakari', 'nakoah', 'nang', 'nasi', 'nasr', 'natanel', 'natanem', 'nathael', 'naven', 'navraj', 'naylan', 'nayson', 'nazaiah', 'nazair', 'nazariy', 'nazeem', 'nazhir', 'nekhi', 'newell', 'nial', 'nicasio', 'niccolas', 'nicholson', 'nickan', 'nicolae', 'nicolau', 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vocab (sample space): ['.', 'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'j', 'k', 'l', 'm', 'n', 'o', 'p', 'q', 'r', 's', 't', 'u', 'v', 'w', 'x', 'y', 'z']
I: V -> N: {'.': 0, 'a': 1, 'b': 2, 'c': 3, 'd': 4, 'e': 5, 'f': 6, 'g': 7, 'h': 8, 'i': 9, 'j': 10, 'k': 11, 'l': 12, 'm': 13, 'n': 14, 'o': 15, 'p': 16, 'q': 17, 'r': 18, 's': 19, 't': 20, 'u': 21, 'v': 22, 'w': 23, 'x': 24, 'y': 25, 'z': 26}

In [7]:

print("--- ARCH ---")
C_VV = np.zeros((V,V), dtype=np.int32)      # and use V to construct C_VV

--- ARCH ---

Karpathy’s spelled-out intro to language modeling: building makemore

In [8]:

print("--- TRAINING ---")
for di in d: # loop through the dataset ..
  di_normalized = ['.'] + list(di) + ['.']

  # .. in a self-supervised manner
  for h,w in zip(di_normalized, di_normalized[1:]):
    print(h,w)
    h_index, w_index = c2i[h], c2i[w]                                         # use map<char, ord> to lookup the coordinate index needed for C_VV
    C_VV[h_index, w_index] += 1                                                         # update C_VV
print("2D (xt,xt-1) histogram using numpy dict:\n", C_VV)

# normalize counts C_VV to probs P_VV
C_VVf32 = (C_VV+1).astype(np.float32)           # inductive bias (locally smooth)
s_V1 = C_VVf32.sum(axis=1,keepdims=True)              # reduce along axis=1 because we want p(y|x) not p(x|y)
P_VV = C_VVf32 / s_V1                                                                   # (V, V) / (V, 1) broadcasts

# for P_VV, the elements are the counts of bigrams (h,w) accessed by indexing with ord(h) at axis=0 and ord(w) at axis=1
# now, since numpy's ndarray's are row major order, axis=0 gets printed vertically from up to down while axis=1 gets printed horizontally from left to right
i2c = {i:c for c,i in c2i.items()}  # invert map<char, ord> to map<ord, char> because looping with enumerate provides access to indices
header = '    ' + ' '.join(f'{i2c[y_index]:>4}' for y_index in range(V))
print("2D (ord, ord) histogram using numpy ndarray")
print(header)
for w_index, row in enumerate(C_VV+1):
  h = f'{i2c[w_index]:>4}'
  print(h, ' '.join(f'{count:>4}' for count in row))

--- TRAINING ---
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2D (xt,xt-1) histogram using numpy dict:
 [[   0 4410 1306 1542 1690 1531  417  669  874  591 2422 2963 1572 2538
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 [3983  679  121  153  384 1271   82  125  152  818   55  178 3248  769
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 [2007 2143   27  115  272  301   12   30   22  192   23   86 1104  148
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 [ 160  860    4    2    2  373    0    1   43  364    2    2  123   35
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2D (ord, ord) histogram using numpy ndarray
       .    a    b    c    d    e    f    g    h    i    j    k    l    m    n    o    p    q    r    s    t    u    v    w    x    y    z
   .    1 4411 1307 1543 1691 1532  418  670  875  592 2423 2964 1573 2539 1147  395  516   93 1640 2056 1309   79  377  308  135  536  930
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   b  115  322   39    2   66  656    1    1   42  218    2    1  104    1    5  106    1    1  843    9    3   46    1    1    1   84    1
   c   98  816    1   43    2  552    1    3  665  272    4  317  117    1    1  381    2   12   77    6   36   36    1    1    4  105    5
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   e 3984  680  122  154  385 1272   83  126  153  819   56  179 3249  770 2676  270   84   15 1959  862  581   70  464   51  133 1071  182
   f   81  243    1    1    1  124   45    2    2  161    1    3   21    1    5   61    1    1  115    7   19   11    1    5    1   15    3
   g  109  331    4    1   20  335    2   26  361  191    4    1   33    7   28   84    1    1  202   31   32   86    2   27    1   32    2
   h 2410 2245    9    3   25  675    3    3    2  730   10   30  186  118  139  288    2    2  205   32   72  167   40   11    1  214   21
   i 2490 2446  111  510  441 1654  102  429   96   83   77  446 1346  428 2127  589   54   53  850 1317  542  110  270    9   90  780  278
   j   72 1474    2    5    5  441    1    1   46  120    3    3   10    6    3  480    2    1   12    8    3  203    6    7    1   11    1
   k  364 1732    3    3    3  896    2    1  308  510    3   21  140   10   27  345    1    1  110   96   18   51    3   35    1  380    3
   l 1315 2624   53   26  139 2922   23    7   20 2481    7   25 1346   61   15  693   16    4   19   95   78  325   73   17    1 1589   11
   m  517 2591  113   52   25  819    2    1    6 1257    8    2    6  169   21  453   39    1   98   36    5  140    4    3    1  288   12
   n 6764 2978    9  214  705 1360   12  274   27 1726   45   59  196   20 1907  497    6    3   45  279  444   97   56   12    7  466  146
   o  856  150  141  115  191  133   35   45  172   70   17   69  620  262 2412  116   96    4 1060  505  119  276  177  115   46  104   55
   p   34  210    3    2    1  198    2    1  205   62    2    2   17    2    2   60   40    1  152   17   18    5    1    1    1   13    1
   q   29   14    1    1    1    2    1    1    1   14    1    1    2    3    1    3    1    1    2    3    1  207    1    4    1    1    1
   r 1378 2357   42  100  188 1698   10   77  122 3034   26   91  414  163  141  870   15   17  426  191  209  253   81   22    4  774   24
   s 1170 1202   22   61   10  885    3    3 1286  685    3   83  280   91   25  532   52    2   56  462  766  186   15   25    1  216   11
   t  484 1028    2   18    1  717    3    3  648  533    4    1  135    5   23  668    1    1  353   36  375   79   16   12    3  342  106
   u  156  164  104  104  137  170   20   48   59  122   15   94  302  155  276   11   17   11  415  475   83    4   38   87   35   14   46
   v   89  643    2    1    2  569    1    1    2  912    1    4   15    1    9  154    1    1   49    1    1    8    8    1    1  122    1
   w   52  281    2    1    9  150    3    2   24  149    1    7   14    3   59   37    1    1   23   21    9   26    1    3    1   74    2
   x  165  104    2    5    6   37    4    1    2  103    1    1   40    2    2   42    1    1    1   32   71    6    1    4   39   31   20
   y 2008 2144   28  116  273  302   13   31   23  193   24   87 1105  149 1827  272   16    7  292  402  105  142  107    5   29   24   79
   z  161  861    5    3    3  374    1    2   44  365    3    3  124   36    5  111    3    1   33    5    5   74    3    4    2  148   46

Warning

WATCH the first hour, until 1:03

In [9]:

print("--- INFERENCE  ---")
rng = np.random.default_rng(1337)
sample_count = 10

for _ in range(sample_count):
  h, h_index = [], 0
  while True:
    # 1. evaluate p(W=w|h)
    pWcondH_V = P_VV[h_index].squeeze()

    # 2. sampling
    h_index = rng.choice(len(pWcondH_V), size=1, replace=True, p=pWcondH_V)
    sample_char = i2c[h_index.item()]

    # 3. appending the sample to history
    h.append (sample_char)
    if h_index == 0: break
  print(''.join(h))

--- INFERENCE  ---
sawyoa.
gho.
don.
ie.
t.
sh.
ror.
myn.
aynyn.
abornahr.

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

In [10]:

print("--- EVAL ---")
loglikelihooddataset,n = 0.0, 0
for di in d:
  di_normalized = ['.'] + list(di) + ['.']
  for h,w in zip(di_normalized, di_normalized[1:]):
    w_index, h_index = c2i[h], c2i[w] # use map<char, ord> to lookup the coordinate index needed for P_VV
    pycondx = P_VV[w_index, h_index] # maximize likelihood
    logpycondx = np.log(pycondx)     # maximize loglikelihood

    loglikelihooddataset += logpycondx
    n += 1
    # print(f'{x_char}{y_char}: {pycondx:.4f} {logpycondx:.4f}')



nlldataset = -loglikelihooddataset   # minimize -loglikelihood
avgnlldataset = nlldataset / n       # minimize -1/n loglikelihood
print(f'{loglikelihooddataset=}')
print(f'{nlldataset=}')
print(f'{avgnlldataset=}')

--- EVAL ---
loglikelihooddataset=np.float32(-559951.56)
nlldataset=np.float32(559951.56)
avgnlldataset=np.float32(2.4543562)

1.2.4 Some More on Maximum Likelihood Estimation

concepts

bernouilli
likelihood
log likelihood
negative likelihood
optimizing likelihood
loss
entropy
cross entropy loss

In which we parameterize classification with a set of weights and biases known as the logistic regression model, which corresponds to a single neuron in a deep network; use the cross entropy loss; iteratively optimize such loss by straddling both linear algebra and differential calculus with iterative reweighted least squares; motivate cross entropy loss and least squares with them more general assumptions from the probabilistic and decision theoretic perspectives; and finally, evaluate

1.3 Parameterizing Classification

1.3.1 Architecture with Logistic Regression

$↩$ Table of Contents (§1.3 Parameterizing Classification)

With a better understanding of the machine learning process that models language as a probabilistic phenomena and estimates some classifying discriminator $\hat{f} : X \to Y$ that assigns a $y$ for a given $x$ where $X := V$ and $Y := V^{*}$ from self-supervised data $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 1}^{n}$ ,

Recall in §1.2 Next Token Prediction is Classification we estimated $\hat{f}$ with $f (v) := I^{- 1} \circ rng \circ P \circ I (v)$ , where the hashmap $I : V \to N$ corresponding to c2i mapped words to indices, the stochastic matrix $P : N \times N \to R$ curried indices to their row distributions over next tokens, (todo) $rng$ mapped distributions to one specific word class index, and the inverted hash map $I^{- 1} : N \to V$ mapped the index back to the actual word. The core machinery of $\hat{f}$ was the row stochastic matrix $P \in R^{∣ V ∣ \times ∣ V ∣}$ which corresponded to a borscht.Tensor with .shape of (V, V). This stochastic matrix is displayed on the left hand side of Figure 1.3.1.

let us now introduce a different way of estimating $\hat{f}$ which will start our journey in earnest towards training deep neural nets in Part II. Deep Neural Networks. That different way is parameter estimationparameter estimation, which is comprised of a three step process of specifying the architecturearchitecture with a loss functionloss function, and optimizingoptimization said loss. This is somewhat analogous to how functions in software 1.0 must first be specified with a function type, followed by an implementation of the function body — in software 2.0, the activity of programming is no longer writing lines of code, but optimizing loss functions.

In contrast, in this chapter and for deep nets more generally, we will estimate $\hat{f} : V \to V$ by parameterizingparameters probabilities $p (y^{(n + 1)} ∣ x^{(n + 1)})$ rather than counting them, namely with the weightsweights $w_{i}$ and biasesbias $b$ of a logistic regressionlogistic regression modelPerhaps logistic classification serves as better terminology, but we will shortly see why it’s called regression which can also be viewed as a single neuronneuron from a deep net. That is, some function $\hat{f} := todo (σ (i = 1 \sum d w_{i} x_{i}))$ , which we will take the remainder of §1.3.1 Architecture with Logistic Regression to better understand.

A circuit for the logistic regression model is shown on the right hand side of Figure 1.3.1. Rather than produce the orange output $p (y ∣ x)$ with a stochastic matrix containing normalized relative frequency counts, the logistic regression model produces it by passing the blue input $x$ into the green summing and squashing functions $\sum$ and $σ$ with the sum being configured — in this case weighted — with purple parameters $w$ and $b$ . Intuitively speaking, by parameterizing $\hat{f}$ what we mean is that we will assume or model $\hat{f}$ as some function that has configurable parameters. You can view the logistic regression model on the right as adding some indirection between the blue input and orange output with green machinery configured by purple parameters. The problem of training a good language model then reduces to that of finding a good set of parameters, in this case $θ := {w, b}$ . That is, the process of training is parameter estimation.

Figure 1.3.1

Scanning from left to right of the neuronal circuit depicted in Figure 1.3.1, we first see that the input word "to" to the conditional probability that the logistic regression is modeling is some column vector $x$ with support in $R^{∣ V ∣}$ . So, starting from the string "to", we continue to map the string to it’s index $i$ in the vocabulary $V$ with some hash map $I : V \to N$ , but then we need an extra step that maps the index $i \in N$ to some vector $x \in R^{∣ V ∣}$ . If you pay closer attention to the circuit, you will see that only $x_{2} := 1$ whereas all the other $x_{i} := 0$ . This is called a one-hot vectorone-hot vector, which semantically represents the same positional information within the vocabulary $V$ except vectorizes that information continuously with support in $R^{∣ V ∣}$ rather than discretely in $N$ . Because of this, the conditional probability is denoted as $p (y ∣ x)$ . Like 1.2_bigram.ipynb, the first cell in 1.3_logistic_regression.ipynb performs the data processing, except with the additional step of tensorizing integer indices over to one-hot vectors with F.one_hot(torch.tensor(indices)):

1.3_logistic_regression.ipynb

In [1]:

print("--- DATA ---")
import torch
import torch.nn.functional as F
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

d: list[str] = open('./data/names.txt', 'r').read().splitlines()
D: int = len(d)
v: list[str] = ['.'] + sorted(list(set(''.join(d)))) # construct vocab, with . as the start token and end token, to remove counting freq of (<E
V: int = len(v)
c2i: dict[str, int] = {c:i for i,c in enumerate(v)}
print(f'dataset: {d}')
print(f'vocab (sample space): {v}')
print(f'I: V -> N: {c2i}')

--- DATA ---
dataset: ['emma', 'olivia', 'ava', 'isabella', 'sophia', 'charlotte', 'mia', 'amelia', 'harper', 'evelyn', 'abigail', 'emily', 'elizabeth', 'mila', 'ella', 'avery', 'sofia', 'camila', 'aria', 'scarlett', 'victoria', 'madison', 'luna', 'grace', 'chloe', 'penelope', 'layla', 'riley', 'zoey', 'nora', 'lily', 'eleanor', 'hannah', 'lillian', 'addison', 'aubrey', 'ellie', 'stella', 'natalie', 'zoe', 'leah', 'hazel', 'violet', 'aurora', 'savannah', 'audrey', 'brooklyn', 'bella', 'claire', 'skylar', 'lucy', 'paisley', 'everly', 'anna', 'caroline', 'nova', 'genesis', 'emilia', 'kennedy', 'samantha', 'maya', 'willow', 'kinsley', 'naomi', 'aaliyah', 'elena', 'sarah', 'ariana', 'allison', 'gabriella', 'alice', 'madelyn', 'cora', 'ruby', 'eva', 'serenity', 'autumn', 'adeline', 'hailey', 'gianna', 'valentina', 'isla', 'eliana', 'quinn', 'nevaeh', 'ivy', 'sadie', 'piper', 'lydia', 'alexa', 'josephine', 'emery', 'julia', 'delilah', 'arianna', 'vivian', 'kaylee', 'sophie', 'brielle', 'madeline', 'peyton', 'rylee', 'clara', 'hadley', 'melanie', 'mackenzie', 'reagan', 'adalynn', 'liliana', 'aubree', 'jade', 'katherine', 'isabelle', 'natalia', 'raelynn', 'maria', 'athena', 'ximena', 'arya', 'leilani', 'taylor', 'faith', 'rose', 'kylie', 'alexandra', 'mary', 'margaret', 'lyla', 'ashley', 'amaya', 'eliza', 'brianna', 'bailey', 'andrea', 'khloe', 'jasmine', 'melody', 'iris', 'isabel', 'norah', 'annabelle', 'valeria', 'emerson', 'adalyn', 'ryleigh', 'eden', 'emersyn', 'anastasia', 'kayla', 'alyssa', 'juliana', 'charlie', 'esther', 'ariel', 'cecilia', 'valerie', 'alina', 'molly', 'reese', 'aliyah', 'lilly', 'parker', 'finley', 'morgan', 'sydney', 'jordyn', 'eloise', 'trinity', 'daisy', 'kimberly', 'lauren', 'genevieve', 'sara', 'arabella', 'harmony', 'elise', 'remi', 'teagan', 'alexis', 'london', 'sloane', 'laila', 'lucia', 'diana', 'juliette', 'sienna', 'elliana', 'londyn', 'ayla', 'callie', 'gracie', 'josie', 'amara', 'jocelyn', 'daniela', 'everleigh', 'mya', 'rachel', 'summer', 'alana', 'brooke', 'alaina', 'mckenzie', 'catherine', 'amy', 'presley', 'journee', 'rosalie', 'ember', 'brynlee', 'rowan', 'joanna', 'paige', 'rebecca', 'ana', 'sawyer', 'mariah', 'nicole', 'brooklynn', 'payton', 'marley', 'fiona', 'georgia', 'lila', 'harley', 'adelyn', 'alivia', 'noelle', 'gemma', 'vanessa', 'journey', 'makayla', 'angelina', 'adaline', 'catalina', 'alayna', 'julianna', 'leila', 'lola', 'adriana', 'june', 'juliet', 'jayla', 'river', 'tessa', 'lia', 'dakota', 'delaney', 'selena', 'blakely', 'ada', 'camille', 'zara', 'malia', 'hope', 'samara', 'vera', 'mckenna', 'briella', 'izabella', 'hayden', 'raegan', 'michelle', 'angela', 'ruth', 'freya', 'kamila', 'vivienne', 'aspen', 'olive', 'kendall', 'elaina', 'thea', 'kali', 'destiny', 'amiyah', 'evangeline', 'cali', 'blake', 'elsie', 'juniper', 'alexandria', 'myla', 'ariella', 'kate', 'mariana', 'lilah', 'charlee', 'daleyza', 'nyla', 'jane', 'maggie', 'zuri', 'aniyah', 'lucille', 'leia', 'melissa', 'adelaide', 'amina', 'giselle', 'lena', 'camilla', 'miriam', 'millie', 'brynn', 'gabrielle', 'sage', 'annie', 'logan', 'lilliana', 'haven', 'jessica', 'kaia', 'magnolia', 'amira', 'adelynn', 'makenzie', 'stephanie', 'nina', 'phoebe', 'arielle', 'evie', 'lyric', 'alessandra', 'gabriela', 'paislee', 'raelyn', 'madilyn', 'paris', 'makenna', 'kinley', 'gracelyn', 'talia', 'maeve', 'rylie', 'kiara', 'evelynn', 'brinley', 'jacqueline', 'laura', 'gracelynn', 'lexi', 'ariah', 'fatima', 'jennifer', 'kehlani', 'alani', 'ariyah', 'luciana', 'allie', 'heidi', 'maci', 'phoenix', 'felicity', 'joy', 'kenzie', 'veronica', 'margot', 'addilyn', 'lana', 'cassidy', 'remington', 'saylor', 'ryan', 'keira', 'harlow', 'miranda', 'angel', 'amanda', 'daniella', 'royalty', 'gwendolyn', 'ophelia', 'heaven', 'jordan', 'madeleine', 'esmeralda', 'kira', 'miracle', 'elle', 'amari', 'danielle', 'daphne', 'willa', 'haley', 'gia', 'kaitlyn', 'oakley', 'kailani', 'winter', 'alicia', 'serena', 'nadia', 'aviana', 'demi', 'jada', 'braelynn', 'dylan', 'ainsley', 'alison', 'camryn', 'avianna', 'bianca', 'skyler', 'scarlet', 'maddison', 'nylah', 'sarai', 'regina', 'dahlia', 'nayeli', 'raven', 'helen', 'adrianna', 'averie', 'skye', 'kelsey', 'tatum', 'kensley', 'maliyah', 'erin', 'viviana', 'jenna', 'anaya', 'carolina', 'shelby', 'sabrina', 'mikayla', 'annalise', 'octavia', 'lennon', 'blair', 'carmen', 'yaretzi', 'kennedi', 'mabel', 'zariah', 'kyla', 'christina', 'selah', 'celeste', 'eve', 'mckinley', 'milani', 'frances', 'jimena', 'kylee', 'leighton', 'katie', 'aitana', 'kayleigh', 'sierra', 'kathryn', 'rosemary', 'jolene', 'alondra', 'elisa', 'helena', 'charleigh', 'hallie', 'lainey', 'avah', 'jazlyn', 'kamryn', 'mira', 'cheyenne', 'francesca', 'antonella', 'wren', 'chelsea', 'amber', 'emory', 'lorelei', 'nia', 'abby', 'april', 'emelia', 'carter', 'aylin', 'cataleya', 'bethany', 'marlee', 'carly', 'kaylani', 'emely', 'liana', 'madelynn', 'cadence', 'matilda', 'sylvia', 'myra', 'fernanda', 'oaklyn', 'elianna', 'hattie', 'dayana', 'kendra', 'maisie', 'malaysia', 'kara', 'katelyn', 'maia', 'celine', 'cameron', 'renata', 'jayleen', 'charli', 'emmalyn', 'holly', 'azalea', 'leona', 'alejandra', 'bristol', 'collins', 'imani', 'meadow', 'alexia', 'edith', 'kaydence', 'leslie', 'lilith', 'kora', 'aisha', 'meredith', 'danna', 'wynter', 'emberly', 'julieta', 'michaela', 'alayah', 'jemma', 'reign', 'colette', 'kaliyah', 'elliott', 'johanna', 'remy', 'sutton', 'emmy', 'virginia', 'briana', 'oaklynn', 'adelina', 'everlee', 'megan', 'angelica', 'justice', 'mariam', 'khaleesi', 'macie', 'karsyn', 'alanna', 'aleah', 'mae', 'mallory', 'esme', 'skyla', 'madilynn', 'charley', 'allyson', 'hanna', 'shiloh', 'henley', 'macy', 'maryam', 'ivanna', 'ashlynn', 'lorelai', 'amora', 'ashlyn', 'sasha', 'baylee', 'beatrice', 'itzel', 'priscilla', 'marie', 'jayda', 'liberty', 'rory', 'alessia', 'alaia', 'janelle', 'kalani', 'gloria', 'sloan', 'dorothy', 'greta', 'julie', 'zahra', 'savanna', 'annabella', 'poppy', 'amalia', 'zaylee', 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'jahmar', 'jahmauri', 'jahongir', 'jahquan', 'jahvier', 'jahzion', 'jaiceion', 'jaicere', 'jaidence', 'jaier', 'jaimes', 'jaiquan', 'jais', 'jaivan', 'jaivyn', 'jaiyce', 'jaizion', 'jakarie', 'jakavion', 'jakaylen', 'jakoda', 'jakory', 'jakyri', 'jaleal', 'jaliel', 'jalynn', 'jamahl', 'jamair', 'jamarien', 'jamaurion', 'jamen', 'jami', 'jamiah', 'jamicheal', 'jamien', 'jamieon', 'jamol', 'jandel', 'jaqson', 'jaqua', 'jaquavis', 'jaquavius', 'jaquay', 'jaquell', 'jareem', 'jarif', 'jarin', 'jariyah', 'jasaad', 'jaseem', 'jaser', 'jasiir', 'jaskaran', 'jassim', 'jassir', 'jasyn', 'jatori', 'javarious', 'javeion', 'javiel', 'javis', 'javohir', 'javonn', 'javonnie', 'javyn', 'jaxxston', 'jaycier', 'jayd', 'jayesh', 'jayjuan', 'jaykub', 'jaymien', 'jayr', 'jayten', 'jayze', 'jb', 'jcion', 'jebidiah', 'jedadiah', 'jefe', 'jeiko', 'jeiren', 'jekai', 'jemal', 'jemere', 'jemir', 'jenner', 'jensiel', 'jentezen', 'jentzen', 'jeon', 'jephthah', 'jerard', 'jered', 'jerian', 'jermar', 'jermarcus', 'jermell', 'jerold', 'jerone', 'jerred', 'jerrel', 'jerremy', 'jerrico', 'jesiyah', 'jessee', 'jessiel', 'jevaun', 'jewel', 'jeycob', 'jeydon', 'jezekiel', 'jezrael', 'jhadiel', 'jiaqi', 'jibrael', 'jibri', 'jkai', 'jmari', 'joandy', 'joangel', 'jociah', 'joen', 'johaniel', 'johansel', 'johncarlo', 'johndaniel', 'johniel', 'johnothan', 'jokubas', 'jomei', 'jonahel', 'jordanny', 'jorgen', 'jorniel', 'josedavid', 'josedejesus', 'josephanthony', 'josiaah', 'josimar', 'jourden', 'jourdyn', 'jovaughn', 'joviah', 'jowel', 'jozyah', 'juanandres', 'jud', 'judiah', 'jujuan', 'julia', 'juliani', 'juliyan', 'jumari', 'junot', 'junyi', 'justan', 'jusuf', 'juvencio', 'jyree', 'jysiah', 'kaceson', 'kachiside', 'kaci', 'kadar', 'kadien', 'kadrien', 'kaenen', 'kahel', 'kahlan', 'kahmi', 'kaia', 'kaian', 'kaikane', 'kail', 'kailin', 'kainoah', 'kainyn', 'kairen', 'kaisei', 'kaleel', 'kaliel', 'kalifa', 'kaliko', 'kallel', 'kallin', 'kalven', 'kamello', 'kamere', 'kamronbek', 'kamsi', 'kandon', 'kaneki', 'kaos', 'kapone', 'karanveer', 'kardell', 'karel', 'karev', 'karlyle', 'karnell', 'karrson', 'kashad', 'kashaun', 'kashen', 'kashif', 'kasius', 'kassen', 'kastle', 'kaung', 'kaushik', 'kavien', 'kawaii', 'kawon', 'kayaan', 'kayd', 'kaydrian', 'kayla', 'kaylem', 'kaylib', 'kaymari', 'kayston', 'kayvan', 'kazden', 'kaze', 'kazimierz', 'kazmir', 'kdyn', 'keair', 'keani', 'keao', 'keaten', 'keegen', 'keelon', 'keeyan', 'keiren', 'keisean', 'keisen', 'keishawn', 'keisuke', 'keita', 'keiton', 'keiyon', 'kekai', 'kellar', 'kenderick', 'kendre', 'kener', 'kengo', 'kengston', 'kenith', 'kenn', 'kennen', 'kennet', 'kenroy', 'kentaro', 'kentrail', 'kentucky', 'keontay', 'kerrick', 'kes', 'keshan', 'kethan', 'kevari', 'keyansh', 'keyari', 'keymani', 'keyonte', 'khabir', 'khaison', 'khalan', 'khaleem', 'khalief', 'khaliel', 'khalifah', 'khalique', 'khameron', 'khannon', 'kharsyn', 'khenan', 'khiran', 'khobe', 'khorey', 'khushal', 'khyel', 'khyng', 'khyzir', 'kiai', 'kiaire', 'kiegan', 'kienan', 'kieon', 'kijon', 'kiliam', 'kimo', 'kindle', 'kindred', 'kingarthur', 'kingjudah', 'kinglsey', 'kingmessiah', 'kinkade', 'kinser', 'kiren', 'kiron', 'kirtan', 'klayden', 'klayten', 'klinton', 'knighten', 'knixon', 'knute', 'koan', 'koben', 'koffi', 'kohin', 'koleman', 'koleton', 'kollyn', 'kosisochukwu', 'kovan', 'kraven', 'kreek', 'kreighton', 'krishank', 'kristiano', 'kriston', 'kriv', 'krizal', 'kronos', 'kruse', 'kuhao', 'kullyn', 'kumayl', 'kutler', 'kvion', 'kweku', 'kyber', 'kyell', 'kyian', 'kyias', 'kyliam', 'kylie', 'kymarion', 'kyndal', 'kyndell', 'kyrae', 'kyreece', 'kyston', 'kysun', 'kyzere', 'kyzic', 'la', 'laban', 'labib', 'ladarian', 'ladell', 'laetyn', 'lafe', 'laim', 'laione', 'lakshya', 'lamberto', 'lamicheal', 'lamin', 'lancelot', 'landrum', 'landy', 'langley', 'lanston', 'laray', 'larue', 'lassana', 'latrelle', 'laurenzo', 'lavel', 'lavontay', 'lawayne', 'lawsyn', 'laydon', 'laykin', 'lealand', 'leandros', 'leeiam', 'leelen', 'leelynn', 'leeson', 'leevon', 'legen', 'legolas', 'lejin', 'lejuan', 'lenden', 'lenni', 'lennyx', 'lens', 'leonzo', 'leoric', 'leovardo', 'lesane', 'leum', 'leunam', 'levian', 'levie', 'levitt', 'levyn', 'liamm', 'liav', 'lincon', 'lionardo', 'livan', 'livio', 'liyam', 'loganjames', 'lono', 'loran', 'lorde', 'lorian', 'louay', 'louca', 'loyd', 'lual', 'lucero', 'luchiano', 'lucis', 'luisenrique', 'luismiguel', 'lukman', 'luna', 'luv', 'lynton', 'lyons', 'lyte', 'maadhav', 'maccabee', 'maciej', 'macks', 'maclaren', 'madeline', 'magdaleno', 'mahan', 'mahavir', 'mahilan', 'majeed', 'makaden', 'maksen', 'makson', 'malacki', 'malakiah', 'mallik', 'malo', 'malykai', 'mamoudou', 'manish', 'mann', 'manvith', 'marcelis', 'marcellino', 'markas', 'marlan', 'marquavius', 'marquay', 'martavion', 'martine', 'maru', 'marvyn', 'masaki', 'maseo', 'mate', 'matej', 'mateja', 'matia', 'matisyahu', 'matrim', 'mats', 'matteus', 'matty', 'maurilio', 'maurion', 'maxden', 'maxel', 'maxie', 'maximous', 'maximum', 'maxmilian', 'maxxwell', 'mayceon', 'mayes', 'mayukh', 'maziah', 'maziar', 'mccall', 'mclaren', 'mehar', 'mehul', 'meison', 'meko', 'melakhi', 'melik', 'melquisedec', 'memphys', 'merari', 'meryk', 'messian', 'mesziah', 'metin', 'meyers', 'mher', 'michaiah', 'michail', 'michale', 'mihail', 'miken', 'mikyng', 'mila', 'moaaz', 'moaz', 'moeez', 'mohamadou', 'mohammadomar', 'mohith', 'moiz', 'mokshagna', 'momen', 'monta', 'montarius', 'monterio', 'montie', 'morgen', 'morireoluwa', 'mosawer', 'mosese', 'moti', 'mouhamad', 'mowgli', 'moyses', 'mucaad', 'mucad', 'mudasir', 'muhammadibrahim', 'muhammadmustafa', 'musiq', 'muzzammil', 'mykhail', 'mykol', 'myzell', 'nacari', 'nace', 'naftuly', 'nahir', 'nahome', 'nahun', 'nahzier', 'naiel', 'najeeb', 'nakari', 'nakoah', 'nang', 'nasi', 'nasr', 'natanel', 'natanem', 'nathael', 'naven', 'navraj', 'naylan', 'nayson', 'nazaiah', 'nazair', 'nazariy', 'nazeem', 'nazhir', 'nekhi', 'newell', 'nial', 'nicasio', 'niccolas', 'nicholson', 'nickan', 'nicolae', 'nicolau', 'nihar', 'nik', 'nikith', 'nirvik', 'nishad', 'nishawn', 'nitai', 'nixen', 'niyan', 'noelan', 'noelle', 'nore', 'nouh', 'nouri', 'numair', 'nycere', 'nyklaus', 'oakleigh', 'oaklynd', 'obeth', 'obrian', 'obryan', 'oconner', 'octaviano', 'odie', 'odynn', 'oghenebrume', 'ohene', 'olando', 'olayinka', 'oleksandr', 'olijah', 'ollyver', 'olman', 'olujimi', 'oluwadamilola', 'oluwalonimi', 'oluwamayowa', 'oluwatise', 'omarie', 'omarii', 'omeir', 'onir', 'orestes', 'orvin', 'osaze', 'osean', 'osei', 'ossian', 'ozell', 'palvit', 'panav', 'parke', 'parson', 'parx', 'pavlos', 'paycen', 'payten', 'perfect', 'petr', 'peyson', 'phenyx', 'philips', 'philopateer', 'pier', 'piercen', 'pinny', 'placido', 'pollux', 'polo', 'power', 'prabhjot', 'praneeth', 'pranil', 'pransh', 'pratt', 'prayaan', 'precieux', 'precise', 'prevail', 'prime', 'princeten', 'priyan', 'qamar', 'qi', 'quadre', 'quantavius', 'quavious', 'quency', 'quince', 'qwest', 'rachel', 'rachid', 'racyn', 'radek', 'radvin', 'rafid', 'rahiim', 'rahki', 'rainen', 'rakari', 'rally', 'ramar', 'ranvir', 'rawad', 'rawlin', 'rawling', 'raxton', 'rayleigh', 'raymier', 'raynav', 'rehansh', 'rehoboth', 'reik', 'renard', 'renardo', 'rett', 'reydan', 'reyn', 'reyner', 'rezwan', 'rhyis', 'rhyon', 'rhyse', 'rhyson', 'richland', 'richy', 'ridger', 'rin', 'rishit', 'rishith', 'rishon', 'riyon', 'rjay', 'rmon', 'roam', 'roanin', 'roary', 'robben', 'rocklan', 'rodderick', 'rohail', 'rohi', 'rohith', 'roko', 'roldan', 'rolin', 'roma', 'romanus', 'romelle', 'romere', 'romie', 'romil', 'romney', 'romy', 'ronon', 'rontrell', 'rooke', 'rorey', 'rosbel', 'rosen', 'roshane', 'royden', 'rron', 'rueger', 'ryad', 'ryansh', 'rydell', 'ryell', 'ryer', 'ryerson', 'rylei', 'ryus', 'saafir', 'saahas', 'saajan', 'saam', 'saavan', 'sadi', 'sador', 'safan', 'sahej', 'saier', 'saivion', 'salesi', 'samaksh', 'saman', 'samba', 'samiul', 'samrudh', 'samvel', 'samyak', 'samyog', 'sang', 'sanji', 'sankalp', 'sarfaraz', 'sarhan', 'sasuke', 'satori', 'saunders', 'savannah', 'saviel', 'savino', 'savio', 'sayeed', 'sayge', 'sayveon', 'schyler', 'scooter', 'scot', 'sebastiann', 'selik', 'sellers', 'sem', 'semere', 'seojun', 'serhan', 'seti', 'severide', 'severo', 'sevrin', 'shabazz', 'shafay', 'shahbaz', 'shahzaib', 'shalin', 'shameek', 'shamere', 'shamshon', 'shanav', 'shanmukh', 'sharaf', 'shavar', 'shayde', 'shelden', 'shemuel', 'sher', 'sherrod', 'shiah', 'shin', 'shiro', 'shishir', 'shmaya', 'shreyash', 'sidhan', 'sier', 'siere', 'siler', 'siosaia', 'sircarter', 'sircharles', 'sirlegend', 'siyer', 'snayder', 'snow', 'solar', 'solaris', 'solo', 'solomone', 'southern', 'spurgeon', 'srihari', 'staley', 'stanlee', 'starlyn', 'staten', 'stavro', 'stephane', 'stetsyn', 'stevin', 'stig', 'stinson', 'straton', 'sujay', 'sulaymaan', 'sunni', 'suryansh', 'sushant', 'sutherland', 'suvan', 'svojas', 'swade', 'swar', 'swaraj', 'syeir', 'sylys', 'syr', 'syren', 'taeshawn', 'tahmeed', 'tailer', 'taimoor', 'taiyari', 'takashi', 'tamarcus', 'tamer', 'tamerlan', 'tamjid', 'tamryn', 'taniela', 'tanis', 'tanmay', 'tarren', 'tarron', 'tarzan', 'tashi', 'tavius', 'tay', 'tayyab', 'taz', 'teghan', 'tel', 'tellis', 'temiloluwa', 'temir', 'temitope', 'temujin', 'teniola', 'tenley', 'tenneson', 'tenuun', 'terren', 'terrez', 'tevion', 'tevyn', 'thade', 'thaxton', 'theadore', 'theoren', 'thibault', 'thierno', 'thoreau', 'tifeoluwa', 'tikhon', 'till', 'tilman', 'timir', 'timofei', 'timon', 'tion', 'tiras', 'tirrell', 'tiyon', 'toan', 'tobiloba', 'tokyo', 'tolliver', 'tomi', 'torres', 'tracey', 'traeton', 'trail', 'tralyn', 'tramell', 'tramon', 'trason', 'traven', 'travez', 'travin', 'travonn', 'travonte', 'traylon', 'trayven', 'trejon', 'trentin', 'trestin', 'treyce', 'treyven', 'treyvonn', 'tripton', 'tristain', 'truthe', 'trystyn', 'tudor', 'turhan', 'tyde', 'tyhir', 'tyjae', 'tylann', 'tylenn', 'tylyn', 'tylynn', 'tymari', 'tynan', 'tyner', 'tyrae', 'tyrann', 'tyten', 'tywaun', 'ulysse', 'universe', 'vahan', 'vanson', 'vantha', 'vasco', 'vedaant', 'vedad', 'venancio', 'versace', 'viaansh', 'victorino', 'vidur', 'vigo', 'vihas', 'vincen', 'vinn', 'violet', 'vishan', 'vishant', 'vision', 'vitor', 'vivaansh', 'vivin', 'volvi', 'vontrell', 'vyktor', 'waverly', 'weber', 'wellesley', 'wendel', 'wentz', 'westbrook', 'wills', 'wilver', 'wizdom', 'wojciech', 'woodley', 'woojin', 'wryder', 'wylden', 'wylen', 'wyman', 'xachary', 'xan', 'xaylen', 'xiomar', 'xoel', 'xolani', 'xylus', 'yadin', 'yaheem', 'yamari', 'yamato', 'yameen', 'yanciel', 'yangel', 'yannai', 'yansel', 'yanziel', 'yasar', 'yasseen', 'yavier', 'yavuz', 'yaxel', 'yayden', 'yeab', 'yeferson', 'yefim', 'yehya', 'yekusiel', 'yeltsin', 'yeshayah', 'yihao', 'yitzhak', 'yobani', 'yohaan', 'yohandry', 'yohanes', 'yonnis', 'yony', 'yordani', 'yordy', 'yoshio', 'yoshiyah', 'yosiyah', 'yosmar', 'yosniel', 'ysidro', 'ysmael', 'ysrael', 'yubin', 'yugo', 'yuji', 'yul', 'zaaki', 'zaavan', 'zaccari', 'zachari', 'zacharian', 'zachry', 'zaeed', 'zahavi', 'zaheir', 'zahyan', 'zaidenn', 'zaier', 'zailyn', 'zaion', 'zakery', 'zakobe', 'zakyi', 'zalik', 'zam', 'zamarrion', 'zameir', 'zan', 'zandon', 'zandyn', 'zanoah', 'zathan', 'zaviel', 'zavin', 'zaye', 'zaytoven', 'zee', 'zeev', 'zeferino', 'zell', 'zenas', 'zerrick', 'zeshan', 'zevan', 'zhander', 'zhen', 'zheng', 'zhiheng', 'ziaan', 'zichen', 'zidon', 'zien', 'zier', 'zierre', 'zihir', 'zim', 'zin', 'zishe', 'zmari', 'zoel', 'zola', 'zuber', 'zubeyr', 'zyell', 'zyheem', 'zykeem', 'zylas', 'zyran', 'zyrie', 'zyron', 'zzyzx']
vocab (sample space): ['.', 'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'j', 'k', 'l', 'm', 'n', 'o', 'p', 'q', 'r', 's', 't', 'u', 'v', 'w', 'x', 'y', 'z']
I: V -> N: {'.': 0, 'a': 1, 'b': 2, 'c': 3, 'd': 4, 'e': 5, 'f': 6, 'g': 7, 'h': 8, 'i': 9, 'j': 10, 'k': 11, 'l': 12, 'm': 13, 'n': 14, 'o': 15, 'p': 16, 'q': 17, 'r': 18, 's': 19, 't': 20, 'u': 21, 'v': 22, 'w': 23, 'x': 24, 'y': 25, 'z': 26}

1.3_logistic_regression.ipynb

In [6]:

print("--- DATA ---")
import numpy as np

d: list[str] = open('./data/names.txt', 'r').read().splitlines()
D: int = len(d)
v: list[str] = ['.'] + sorted(list(set(''.join(d)))) # with . as the start token and end token, to remove counting freq of (<E>*) and (*<S>) which are all 0
V: int = len(v)
c2i: dict[str, int] = {c:i for i,c in enumerate(v)}

print(f'dataset: {d}')
print(f'vocab (sample space): {v}')
print(f'I: V -> N: {c2i}')

--- DATA ---
dataset: ['emma', 'olivia', 'ava', 'isabella', 'sophia', 'charlotte', 'mia', 'amelia', 'harper', 'evelyn', 'abigail', 'emily', 'elizabeth', 'mila', 'ella', 'avery', 'sofia', 'camila', 'aria', 'scarlett', 'victoria', 'madison', 'luna', 'grace', 'chloe', 'penelope', 'layla', 'riley', 'zoey', 'nora', 'lily', 'eleanor', 'hannah', 'lillian', 'addison', 'aubrey', 'ellie', 'stella', 'natalie', 'zoe', 'leah', 'hazel', 'violet', 'aurora', 'savannah', 'audrey', 'brooklyn', 'bella', 'claire', 'skylar', 'lucy', 'paisley', 'everly', 'anna', 'caroline', 'nova', 'genesis', 'emilia', 'kennedy', 'samantha', 'maya', 'willow', 'kinsley', 'naomi', 'aaliyah', 'elena', 'sarah', 'ariana', 'allison', 'gabriella', 'alice', 'madelyn', 'cora', 'ruby', 'eva', 'serenity', 'autumn', 'adeline', 'hailey', 'gianna', 'valentina', 'isla', 'eliana', 'quinn', 'nevaeh', 'ivy', 'sadie', 'piper', 'lydia', 'alexa', 'josephine', 'emery', 'julia', 'delilah', 'arianna', 'vivian', 'kaylee', 'sophie', 'brielle', 'madeline', 'peyton', 'rylee', 'clara', 'hadley', 'melanie', 'mackenzie', 'reagan', 'adalynn', 'liliana', 'aubree', 'jade', 'katherine', 'isabelle', 'natalia', 'raelynn', 'maria', 'athena', 'ximena', 'arya', 'leilani', 'taylor', 'faith', 'rose', 'kylie', 'alexandra', 'mary', 'margaret', 'lyla', 'ashley', 'amaya', 'eliza', 'brianna', 'bailey', 'andrea', 'khloe', 'jasmine', 'melody', 'iris', 'isabel', 'norah', 'annabelle', 'valeria', 'emerson', 'adalyn', 'ryleigh', 'eden', 'emersyn', 'anastasia', 'kayla', 'alyssa', 'juliana', 'charlie', 'esther', 'ariel', 'cecilia', 'valerie', 'alina', 'molly', 'reese', 'aliyah', 'lilly', 'parker', 'finley', 'morgan', 'sydney', 'jordyn', 'eloise', 'trinity', 'daisy', 'kimberly', 'lauren', 'genevieve', 'sara', 'arabella', 'harmony', 'elise', 'remi', 'teagan', 'alexis', 'london', 'sloane', 'laila', 'lucia', 'diana', 'juliette', 'sienna', 'elliana', 'londyn', 'ayla', 'callie', 'gracie', 'josie', 'amara', 'jocelyn', 'daniela', 'everleigh', 'mya', 'rachel', 'summer', 'alana', 'brooke', 'alaina', 'mckenzie', 'catherine', 'amy', 'presley', 'journee', 'rosalie', 'ember', 'brynlee', 'rowan', 'joanna', 'paige', 'rebecca', 'ana', 'sawyer', 'mariah', 'nicole', 'brooklynn', 'payton', 'marley', 'fiona', 'georgia', 'lila', 'harley', 'adelyn', 'alivia', 'noelle', 'gemma', 'vanessa', 'journey', 'makayla', 'angelina', 'adaline', 'catalina', 'alayna', 'julianna', 'leila', 'lola', 'adriana', 'june', 'juliet', 'jayla', 'river', 'tessa', 'lia', 'dakota', 'delaney', 'selena', 'blakely', 'ada', 'camille', 'zara', 'malia', 'hope', 'samara', 'vera', 'mckenna', 'briella', 'izabella', 'hayden', 'raegan', 'michelle', 'angela', 'ruth', 'freya', 'kamila', 'vivienne', 'aspen', 'olive', 'kendall', 'elaina', 'thea', 'kali', 'destiny', 'amiyah', 'evangeline', 'cali', 'blake', 'elsie', 'juniper', 'alexandria', 'myla', 'ariella', 'kate', 'mariana', 'lilah', 'charlee', 'daleyza', 'nyla', 'jane', 'maggie', 'zuri', 'aniyah', 'lucille', 'leia', 'melissa', 'adelaide', 'amina', 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'kaneki', 'kaos', 'kapone', 'karanveer', 'kardell', 'karel', 'karev', 'karlyle', 'karnell', 'karrson', 'kashad', 'kashaun', 'kashen', 'kashif', 'kasius', 'kassen', 'kastle', 'kaung', 'kaushik', 'kavien', 'kawaii', 'kawon', 'kayaan', 'kayd', 'kaydrian', 'kayla', 'kaylem', 'kaylib', 'kaymari', 'kayston', 'kayvan', 'kazden', 'kaze', 'kazimierz', 'kazmir', 'kdyn', 'keair', 'keani', 'keao', 'keaten', 'keegen', 'keelon', 'keeyan', 'keiren', 'keisean', 'keisen', 'keishawn', 'keisuke', 'keita', 'keiton', 'keiyon', 'kekai', 'kellar', 'kenderick', 'kendre', 'kener', 'kengo', 'kengston', 'kenith', 'kenn', 'kennen', 'kennet', 'kenroy', 'kentaro', 'kentrail', 'kentucky', 'keontay', 'kerrick', 'kes', 'keshan', 'kethan', 'kevari', 'keyansh', 'keyari', 'keymani', 'keyonte', 'khabir', 'khaison', 'khalan', 'khaleem', 'khalief', 'khaliel', 'khalifah', 'khalique', 'khameron', 'khannon', 'kharsyn', 'khenan', 'khiran', 'khobe', 'khorey', 'khushal', 'khyel', 'khyng', 'khyzir', 'kiai', 'kiaire', 'kiegan', 'kienan', 'kieon', 'kijon', 'kiliam', 'kimo', 'kindle', 'kindred', 'kingarthur', 'kingjudah', 'kinglsey', 'kingmessiah', 'kinkade', 'kinser', 'kiren', 'kiron', 'kirtan', 'klayden', 'klayten', 'klinton', 'knighten', 'knixon', 'knute', 'koan', 'koben', 'koffi', 'kohin', 'koleman', 'koleton', 'kollyn', 'kosisochukwu', 'kovan', 'kraven', 'kreek', 'kreighton', 'krishank', 'kristiano', 'kriston', 'kriv', 'krizal', 'kronos', 'kruse', 'kuhao', 'kullyn', 'kumayl', 'kutler', 'kvion', 'kweku', 'kyber', 'kyell', 'kyian', 'kyias', 'kyliam', 'kylie', 'kymarion', 'kyndal', 'kyndell', 'kyrae', 'kyreece', 'kyston', 'kysun', 'kyzere', 'kyzic', 'la', 'laban', 'labib', 'ladarian', 'ladell', 'laetyn', 'lafe', 'laim', 'laione', 'lakshya', 'lamberto', 'lamicheal', 'lamin', 'lancelot', 'landrum', 'landy', 'langley', 'lanston', 'laray', 'larue', 'lassana', 'latrelle', 'laurenzo', 'lavel', 'lavontay', 'lawayne', 'lawsyn', 'laydon', 'laykin', 'lealand', 'leandros', 'leeiam', 'leelen', 'leelynn', 'leeson', 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'maxxwell', 'mayceon', 'mayes', 'mayukh', 'maziah', 'maziar', 'mccall', 'mclaren', 'mehar', 'mehul', 'meison', 'meko', 'melakhi', 'melik', 'melquisedec', 'memphys', 'merari', 'meryk', 'messian', 'mesziah', 'metin', 'meyers', 'mher', 'michaiah', 'michail', 'michale', 'mihail', 'miken', 'mikyng', 'mila', 'moaaz', 'moaz', 'moeez', 'mohamadou', 'mohammadomar', 'mohith', 'moiz', 'mokshagna', 'momen', 'monta', 'montarius', 'monterio', 'montie', 'morgen', 'morireoluwa', 'mosawer', 'mosese', 'moti', 'mouhamad', 'mowgli', 'moyses', 'mucaad', 'mucad', 'mudasir', 'muhammadibrahim', 'muhammadmustafa', 'musiq', 'muzzammil', 'mykhail', 'mykol', 'myzell', 'nacari', 'nace', 'naftuly', 'nahir', 'nahome', 'nahun', 'nahzier', 'naiel', 'najeeb', 'nakari', 'nakoah', 'nang', 'nasi', 'nasr', 'natanel', 'natanem', 'nathael', 'naven', 'navraj', 'naylan', 'nayson', 'nazaiah', 'nazair', 'nazariy', 'nazeem', 'nazhir', 'nekhi', 'newell', 'nial', 'nicasio', 'niccolas', 'nicholson', 'nickan', 'nicolae', 'nicolau', 'nihar', 'nik', 'nikith', 'nirvik', 'nishad', 'nishawn', 'nitai', 'nixen', 'niyan', 'noelan', 'noelle', 'nore', 'nouh', 'nouri', 'numair', 'nycere', 'nyklaus', 'oakleigh', 'oaklynd', 'obeth', 'obrian', 'obryan', 'oconner', 'octaviano', 'odie', 'odynn', 'oghenebrume', 'ohene', 'olando', 'olayinka', 'oleksandr', 'olijah', 'ollyver', 'olman', 'olujimi', 'oluwadamilola', 'oluwalonimi', 'oluwamayowa', 'oluwatise', 'omarie', 'omarii', 'omeir', 'onir', 'orestes', 'orvin', 'osaze', 'osean', 'osei', 'ossian', 'ozell', 'palvit', 'panav', 'parke', 'parson', 'parx', 'pavlos', 'paycen', 'payten', 'perfect', 'petr', 'peyson', 'phenyx', 'philips', 'philopateer', 'pier', 'piercen', 'pinny', 'placido', 'pollux', 'polo', 'power', 'prabhjot', 'praneeth', 'pranil', 'pransh', 'pratt', 'prayaan', 'precieux', 'precise', 'prevail', 'prime', 'princeten', 'priyan', 'qamar', 'qi', 'quadre', 'quantavius', 'quavious', 'quency', 'quince', 'qwest', 'rachel', 'rachid', 'racyn', 'radek', 'radvin', 'rafid', 'rahiim', 'rahki', 'rainen', 'rakari', 'rally', 'ramar', 'ranvir', 'rawad', 'rawlin', 'rawling', 'raxton', 'rayleigh', 'raymier', 'raynav', 'rehansh', 'rehoboth', 'reik', 'renard', 'renardo', 'rett', 'reydan', 'reyn', 'reyner', 'rezwan', 'rhyis', 'rhyon', 'rhyse', 'rhyson', 'richland', 'richy', 'ridger', 'rin', 'rishit', 'rishith', 'rishon', 'riyon', 'rjay', 'rmon', 'roam', 'roanin', 'roary', 'robben', 'rocklan', 'rodderick', 'rohail', 'rohi', 'rohith', 'roko', 'roldan', 'rolin', 'roma', 'romanus', 'romelle', 'romere', 'romie', 'romil', 'romney', 'romy', 'ronon', 'rontrell', 'rooke', 'rorey', 'rosbel', 'rosen', 'roshane', 'royden', 'rron', 'rueger', 'ryad', 'ryansh', 'rydell', 'ryell', 'ryer', 'ryerson', 'rylei', 'ryus', 'saafir', 'saahas', 'saajan', 'saam', 'saavan', 'sadi', 'sador', 'safan', 'sahej', 'saier', 'saivion', 'salesi', 'samaksh', 'saman', 'samba', 'samiul', 'samrudh', 'samvel', 'samyak', 'samyog', 'sang', 'sanji', 'sankalp', 'sarfaraz', 'sarhan', 'sasuke', 'satori', 'saunders', 'savannah', 'saviel', 'savino', 'savio', 'sayeed', 'sayge', 'sayveon', 'schyler', 'scooter', 'scot', 'sebastiann', 'selik', 'sellers', 'sem', 'semere', 'seojun', 'serhan', 'seti', 'severide', 'severo', 'sevrin', 'shabazz', 'shafay', 'shahbaz', 'shahzaib', 'shalin', 'shameek', 'shamere', 'shamshon', 'shanav', 'shanmukh', 'sharaf', 'shavar', 'shayde', 'shelden', 'shemuel', 'sher', 'sherrod', 'shiah', 'shin', 'shiro', 'shishir', 'shmaya', 'shreyash', 'sidhan', 'sier', 'siere', 'siler', 'siosaia', 'sircarter', 'sircharles', 'sirlegend', 'siyer', 'snayder', 'snow', 'solar', 'solaris', 'solo', 'solomone', 'southern', 'spurgeon', 'srihari', 'staley', 'stanlee', 'starlyn', 'staten', 'stavro', 'stephane', 'stetsyn', 'stevin', 'stig', 'stinson', 'straton', 'sujay', 'sulaymaan', 'sunni', 'suryansh', 'sushant', 'sutherland', 'suvan', 'svojas', 'swade', 'swar', 'swaraj', 'syeir', 'sylys', 'syr', 'syren', 'taeshawn', 'tahmeed', 'tailer', 'taimoor', 'taiyari', 'takashi', 'tamarcus', 'tamer', 'tamerlan', 'tamjid', 'tamryn', 'taniela', 'tanis', 'tanmay', 'tarren', 'tarron', 'tarzan', 'tashi', 'tavius', 'tay', 'tayyab', 'taz', 'teghan', 'tel', 'tellis', 'temiloluwa', 'temir', 'temitope', 'temujin', 'teniola', 'tenley', 'tenneson', 'tenuun', 'terren', 'terrez', 'tevion', 'tevyn', 'thade', 'thaxton', 'theadore', 'theoren', 'thibault', 'thierno', 'thoreau', 'tifeoluwa', 'tikhon', 'till', 'tilman', 'timir', 'timofei', 'timon', 'tion', 'tiras', 'tirrell', 'tiyon', 'toan', 'tobiloba', 'tokyo', 'tolliver', 'tomi', 'torres', 'tracey', 'traeton', 'trail', 'tralyn', 'tramell', 'tramon', 'trason', 'traven', 'travez', 'travin', 'travonn', 'travonte', 'traylon', 'trayven', 'trejon', 'trentin', 'trestin', 'treyce', 'treyven', 'treyvonn', 'tripton', 'tristain', 'truthe', 'trystyn', 'tudor', 'turhan', 'tyde', 'tyhir', 'tyjae', 'tylann', 'tylenn', 'tylyn', 'tylynn', 'tymari', 'tynan', 'tyner', 'tyrae', 'tyrann', 'tyten', 'tywaun', 'ulysse', 'universe', 'vahan', 'vanson', 'vantha', 'vasco', 'vedaant', 'vedad', 'venancio', 'versace', 'viaansh', 'victorino', 'vidur', 'vigo', 'vihas', 'vincen', 'vinn', 'violet', 'vishan', 'vishant', 'vision', 'vitor', 'vivaansh', 'vivin', 'volvi', 'vontrell', 'vyktor', 'waverly', 'weber', 'wellesley', 'wendel', 'wentz', 'westbrook', 'wills', 'wilver', 'wizdom', 'wojciech', 'woodley', 'woojin', 'wryder', 'wylden', 'wylen', 'wyman', 'xachary', 'xan', 'xaylen', 'xiomar', 'xoel', 'xolani', 'xylus', 'yadin', 'yaheem', 'yamari', 'yamato', 'yameen', 'yanciel', 'yangel', 'yannai', 'yansel', 'yanziel', 'yasar', 'yasseen', 'yavier', 'yavuz', 'yaxel', 'yayden', 'yeab', 'yeferson', 'yefim', 'yehya', 'yekusiel', 'yeltsin', 'yeshayah', 'yihao', 'yitzhak', 'yobani', 'yohaan', 'yohandry', 'yohanes', 'yonnis', 'yony', 'yordani', 'yordy', 'yoshio', 'yoshiyah', 'yosiyah', 'yosmar', 'yosniel', 'ysidro', 'ysmael', 'ysrael', 'yubin', 'yugo', 'yuji', 'yul', 'zaaki', 'zaavan', 'zaccari', 'zachari', 'zacharian', 'zachry', 'zaeed', 'zahavi', 'zaheir', 'zahyan', 'zaidenn', 'zaier', 'zailyn', 'zaion', 'zakery', 'zakobe', 'zakyi', 'zalik', 'zam', 'zamarrion', 'zameir', 'zan', 'zandon', 'zandyn', 'zanoah', 'zathan', 'zaviel', 'zavin', 'zaye', 'zaytoven', 'zee', 'zeev', 'zeferino', 'zell', 'zenas', 'zerrick', 'zeshan', 'zevan', 'zhander', 'zhen', 'zheng', 'zhiheng', 'ziaan', 'zichen', 'zidon', 'zien', 'zier', 'zierre', 'zihir', 'zim', 'zin', 'zishe', 'zmari', 'zoel', 'zola', 'zuber', 'zubeyr', 'zyell', 'zyheem', 'zykeem', 'zylas', 'zyran', 'zyrie', 'zyron', 'zzyzx']
vocab (sample space): ['.', 'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'j', 'k', 'l', 'm', 'n', 'o', 'p', 'q', 'r', 's', 't', 'u', 'v', 'w', 'x', 'y', 'z']
I: V -> N: {'.': 0, 'a': 1, 'b': 2, 'c': 3, 'd': 4, 'e': 5, 'f': 6, 'g': 7, 'h': 8, 'i': 9, 'j': 10, 'k': 11, 'l': 12, 'm': 13, 'n': 14, 'o': 15, 'p': 16, 'q': 17, 'r': 18, 's': 19, 't': 20, 'u': 21, 'v': 22, 'w': 23, 'x': 24, 'y': 25, 'z': 26}

So far we in the logistic regression notebook we have the same dataset, vocab and c2i. But because logistic regression takes in continuous inputs rather than discrete, one more step must be perform in its data processing, namely mapping (tensorizing) integer indices to their one-hot vectors (local, however). We construct list[int] first and convert to tensor’s second, for tensor.append()… (todo)

In [2]:

xindices: list[int] = []
yindices: list[int] = []

for di in d: # loop through the dataset..
  di_normalized = ['.'] + list(di) + ['.']
  # ..in a self-supervised manner
  for x_char,y_char in zip(di_normalized, di_normalized[1:]):
    # but instead of using this double loop to start *counting* to estimate p(y|x),
    # we are going to *collect* their positional information by appending
    x_index, y_index = c2i[x_char], c2i[y_char] # use c2i
    xindices.append(x_index)
    yindices.append(y_index)

# then, we can tensorize integer indices to their one-hot vectors with F.one_hot(torch.tensor(indices))
N = len(xindices)
xindices_N, yindices_N = torch.tensor(xindices), torch.tensor(yindices)
x1hots_NV, y1hots_NV = F.one_hot(xindices_N, num_classes=V).float(), F.one_hot(yindices_N,num_classes=V).float()
print(f'\n\ninputs x^(i) as indices: {xindices_N}')
print(f'inputs x^(i) as vectors: {x1hots_NV.shape} {x1hots_NV}')
plt.imshow(x1hots_NV[:5], cmap='Blues')

print(f'outputs y^(i) as indices: {yindices_N}')
print(f'outputs y^(i) as vectors: {x1hots_NV.shape} {x1hots_NV}')


inputs x^(i) as indices: tensor([ 0,  5, 13,  ..., 25, 26, 24])
inputs x^(i) as vectors: torch.Size([228146, 27]) tensor([[1., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        ...,
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 1., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 1.],
        [0., 0., 0.,  ..., 1., 0., 0.]])
outputs y^(i) as indices: tensor([ 5, 13, 13,  ..., 26, 24,  0])
outputs y^(i) as vectors: torch.Size([228146, 27]) tensor([[1., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        ...,
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 1., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 1.],
        [0., 0., 0.,  ..., 1., 0., 0.]])

Where first five $x^{(i)}$ ’s are plotted as a heatmap with plt.imshow. Continuing our left to right scan of the logistic regression model depicted in Figure 1.3.1, the next aspect to the neuronal circuit is the core machinery which the one hot vectors are passed through, namely taking a weighted sum $i = 1 \sum ∣ V ∣ w_{i} x_{i}$ whose real-valued output is then mapped to a number between 0 and 1 with a squashing function $σ (\cdot)$ . That is, the logistic regression assumption is $P (Y = 1∣ X = x) := σ (w^{⊤} x)$ .

Figure I.2.3

$f_{sum} : R^{d} x f_{squash} : R z \to \mapsto \to \mapsto R (w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} + \dots + w_{n} x_{n}) + b = (i = 1 \sum d w_{i} x_{i}) + b = w^{⊤} x + b [0, 1] σ (z) = \frac{1}{1 + exp ( - z )}$

That is, we model $\hat{f}$ as follows:

$\hat{f}_{w} : R^{d} x \to \mapsto [0, 1] f_{squash} (f_{sum} (x))$

One small adjustment we can make to $f$ is to fold the final bias term $b$ into the vector $w$ as $w_{1}$ , increasing the total dimensionality so that $w \in R^{d + 1}$ , and adjusting $x$ accordingly so that $x_{1} := 1$ and $x \in R^{d + 1}$ . Then, the equation of our line with bias is simply parameterized as $f (x; w)$ $f_{sum} : R^{d + 1} x \to R \mapsto w^{⊤} x$

$f (x; w, b)$

1.3_logistic_regression.ipynb

In [3]:

print("\n\n--- ARCH ---")
g = torch.Generator().manual_seed(1337+1)                 # avgnll: 3.5 -> 4.9
W_VV = torch.randn((V, V), generator=g, requires_grad=True)  # V neurons
print(f"W_VV.shape: {W_VV.shape}, W_VV:\n{W_VV}")


--- ARCH ---
W_VV.shape: torch.Size([27, 27]), W_VV:
tensor([[-1.3113e+00, -1.0017e+00, -1.2342e+00,  1.2973e-01, -5.1500e-01,
         -1.2666e+00, -6.7186e-01,  1.8508e-01,  9.3667e-01,  3.1391e-01,
         -1.3950e+00,  1.1317e-01,  3.6217e-01,  2.5192e+00, -7.6724e-01,
         -9.5292e-01,  1.1362e+00, -1.0822e+00, -1.1951e+00, -2.0264e-01,
          1.4871e+00, -3.2522e-01, -1.2037e+00,  4.4642e-01, -9.4256e-01,
         -6.6442e-01,  4.8422e-01],
        [-5.6939e-01,  5.1912e-01, -1.9669e+00,  8.9048e-01,  8.7936e-01,
         -9.8786e-03,  6.0685e-02, -7.6290e-01,  1.6798e+00, -6.9117e-01,
         -1.2185e+00,  9.4919e-01, -1.3902e+00,  5.7924e-01,  3.4272e-01,
         -1.2677e+00,  1.1455e+00, -8.7937e-01,  3.5965e-01, -1.5540e+00,
         -3.3140e-01, -1.4606e-01, -4.1542e-04, -1.1464e+00,  2.8404e-01,
          1.5396e+00, -1.2363e+00],
        [-1.4829e+00,  9.5203e-03,  1.2568e+00, -1.5021e-02, -8.6505e-02,
         -1.5515e+00,  3.0737e-01, -1.8506e+00, -5.4047e-01, -5.4164e-01,
         -1.0750e+00, -1.0461e+00, -6.0053e-01, -1.5462e+00,  5.0769e-01,
         -1.4049e+00, -6.0155e-01, -2.1878e-01,  1.3055e-01, -1.0377e+00,
         -7.3924e-01, -1.2327e+00,  3.9978e-01, -1.8629e+00,  1.3406e-01,
          9.0223e-01,  1.7777e-01],
        [-4.4620e-01, -1.1807e+00,  5.4554e-01, -5.1170e-01, -2.8283e-01,
          2.2833e-01, -1.1180e+00, -1.3692e-01, -2.1206e-02, -1.2489e-01,
          5.6599e-01,  9.2382e-01,  1.3981e-01, -1.3774e+00,  1.3014e+00,
         -2.1170e-01,  1.3929e-01, -5.8389e-01, -4.6926e-01,  1.1164e+00,
          1.4657e-01,  1.4901e+00, -9.4268e-01, -2.3721e-01,  7.4853e-01,
          6.7011e-01,  1.5047e+00],
        [ 2.5502e-02, -5.8901e-01,  2.7061e-01,  5.0702e-02,  1.3599e+00,
         -9.1367e-02,  6.1157e-01, -7.3338e-01,  1.3720e+00, -2.8634e-01,
          1.1493e+00, -6.9181e-01,  1.4086e+00,  5.5475e-01,  8.9632e-01,
         -1.7713e+00, -2.2862e-01, -1.1243e+00,  1.8252e+00,  2.4667e+00,
         -5.1635e-01, -1.0611e+00, -1.3318e-01, -8.5282e-01, -7.9336e-01,
          4.3761e-01, -1.0459e+00],
        [ 9.3618e-01,  9.2838e-01,  1.9908e-01, -3.9676e-01,  1.5279e+00,
          6.0724e-01,  1.4459e+00, -7.1247e-01,  1.2309e+00, -1.9165e+00,
          6.3267e-01, -1.0580e+00, -1.1407e+00, -3.5618e-01, -1.0033e+00,
          2.3537e-01, -6.6270e-01,  4.6389e-01,  1.2569e+00, -3.3496e-01,
          6.2071e-01,  1.6646e+00, -3.6235e-01,  2.6381e+00,  5.9707e-01,
         -9.7217e-01,  8.6227e-01],
        [-3.2534e-01, -1.1662e+00,  9.8094e-01, -4.5422e-01, -2.3221e-01,
          6.0006e-01,  1.0279e+00,  2.7853e-01, -5.5580e-01, -7.6978e-01,
         -5.3511e-01,  2.9276e-01, -1.8476e+00, -1.1459e-01, -1.4098e+00,
         -3.1411e-01,  1.0314e+00, -6.0215e-01,  9.4973e-01, -1.5737e+00,
          1.2770e+00,  7.9605e-02,  3.1354e-01, -1.2153e+00, -1.2196e+00,
         -4.1002e-01, -2.1579e+00],
        [-7.3409e-01, -5.5116e-01,  5.3084e-01, -6.1090e-01, -9.3822e-02,
         -1.1069e-01,  9.2415e-01, -4.8619e-01,  1.1865e+00,  1.2376e+00,
         -1.0098e-01,  3.7892e-01,  1.2879e-01,  3.8999e-02, -1.2547e-01,
          1.6432e+00,  5.8427e-01,  3.2445e-01,  6.6852e-01,  6.9743e-02,
          1.2810e+00,  8.0408e-01, -1.5929e-01, -1.5816e+00,  5.3277e-01,
         -4.1994e-01, -8.3850e-01],
        [-1.1748e+00,  2.3827e+00,  1.6663e+00, -1.7611e+00, -4.9775e-01,
          2.4907e-01,  9.0671e-01,  8.3343e-01,  2.8570e-02, -1.0119e+00,
          8.5816e-02,  4.4406e-01, -6.1052e-01,  2.1185e+00, -1.0098e+00,
         -3.0286e-01, -8.8769e-01,  7.7488e-01, -1.2299e+00, -2.2271e-01,
         -1.1381e+00,  1.3769e+00,  5.5935e-01,  6.2661e-01, -1.3585e+00,
         -1.5178e+00, -4.5446e-01],
        [ 7.3238e-01, -5.8819e-01, -6.4012e-01,  9.9630e-01,  4.1670e-01,
          1.1854e+00,  5.1059e-01,  1.5993e+00, -3.0960e-02, -9.3141e-01,
          8.6978e-01, -2.2276e+00,  5.6066e-02, -6.8357e-01,  1.6536e+00,
          1.3200e+00, -6.6780e-01, -3.7423e-01,  7.7729e-02,  1.1448e+00,
         -2.1828e-01,  8.8954e-03,  6.6505e-01, -8.6735e-01,  1.4677e+00,
         -5.3678e-01,  1.3266e+00],
        [-9.4588e-01, -5.9398e-01, -6.6227e-02,  1.0396e+00, -3.6266e-01,
         -4.7716e-01, -7.7324e-01, -1.7025e+00, -3.7551e-01,  2.4784e-01,
          3.7325e-01,  6.0285e-01,  2.4207e-01,  1.5908e-01, -2.2551e-01,
          6.6850e-01,  2.1001e+00, -3.0166e-01, -1.1114e+00, -2.2269e-01,
          5.1550e-03,  1.9897e-01,  1.0630e+00, -1.8168e+00,  1.4311e+00,
          1.0043e+00, -1.7402e-02],
        [-5.6774e-01,  1.4291e-02,  2.2156e-01,  7.0658e-01,  6.6838e-01,
          2.6645e-02, -2.8528e+00,  2.0028e-01, -3.8662e-01,  1.6473e-01,
          9.1422e-01, -1.4581e+00, -7.6287e-01,  1.8655e+00,  1.3282e+00,
          6.6619e-01,  2.3777e-01,  2.5696e-01,  1.3253e+00, -1.5899e+00,
         -4.1506e-01, -1.4225e+00,  9.2500e-01, -1.1492e+00, -5.9703e-01,
          5.5272e-01, -8.4056e-02],
        [ 1.0356e+00, -3.3586e-01, -5.4784e-01, -4.5453e-01,  5.9996e-01,
          6.6508e-01, -9.9814e-01,  7.1008e-01, -8.0600e-03,  4.0775e-01,
         -6.7241e-01, -1.4510e-01,  1.3263e+00,  8.8125e-01,  1.5897e+00,
         -3.4093e-01,  2.3808e+00,  3.9197e-02, -1.3039e+00, -1.1466e+00,
          2.5272e+00,  2.5287e-01, -3.8339e-01,  5.4251e-02, -7.8860e-01,
          5.4794e-01, -7.2517e-01],
        [-1.0216e+00, -9.5488e-01, -8.0526e-01, -2.5713e-01,  1.4329e-01,
         -1.1170e+00, -5.0841e-01,  1.2057e+00,  5.8779e-02, -1.1334e+00,
         -6.3946e-01,  3.7495e+00, -6.2325e-01, -1.5035e+00,  1.5549e-01,
          1.6768e-01,  2.9551e+00, -1.3632e+00,  8.3159e-01, -5.8902e-01,
         -5.6700e-01,  4.4330e-01, -1.1685e+00, -4.1974e-01,  2.9677e-01,
          5.4258e-01,  1.6792e+00],
        [-1.7042e+00, -4.3624e-01,  3.9980e-01,  9.6039e-02,  1.0528e-01,
          8.1180e-01, -6.3290e-01,  1.3428e-01,  2.1523e-03,  5.3485e-01,
          5.7002e-01,  3.6129e-01, -1.2018e+00, -7.0197e-01, -9.1458e-01,
          1.3784e+00,  2.4803e-01,  2.7863e-01,  4.5558e-01, -1.5567e+00,
         -2.1301e-01, -5.9613e-01, -4.3209e-01, -2.8576e+00,  4.2051e-01,
          1.2553e+00, -8.5569e-01],
        [-2.2674e-01,  1.3804e+00, -9.2326e-01, -5.6027e-02,  2.3358e-01,
          5.3978e-01,  1.2092e+00,  2.2054e+00, -9.1184e-01,  9.2569e-01,
          3.9055e-01,  4.5217e-01,  9.3510e-01,  1.3011e+00, -2.2026e-02,
          2.5717e+00, -5.9545e-01, -4.6771e-01, -4.1656e-01, -3.9704e-01,
         -5.0882e-01, -4.3020e-01,  9.6258e-01,  1.9072e+00,  4.1557e-01,
         -6.1143e-01,  3.0925e-01],
        [-2.8180e-01, -7.8761e-01, -1.0525e+00, -3.6679e-01, -3.0607e-02,
         -6.9571e-01, -3.0042e-01, -1.1913e+00,  2.8266e-01,  1.4395e-01,
          1.4603e+00,  1.1350e+00,  1.0427e+00,  1.1471e+00, -8.5321e-01,
          1.8133e+00,  2.6276e-01, -8.0548e-01, -1.2574e+00, -9.2269e-01,
         -2.3408e+00, -1.0085e+00, -1.5450e+00,  3.7778e-01,  2.2726e-01,
          2.3714e+00, -4.7157e-01],
        [-9.5120e-01,  1.8981e+00, -3.0243e+00,  1.0482e+00, -7.0139e-01,
         -6.1653e-02,  4.7221e-01, -5.3972e-01, -8.7252e-01, -1.4267e-01,
         -1.0094e+00,  2.7358e+00, -1.3313e+00, -1.5440e+00,  5.4454e-01,
         -1.3535e+00, -1.7114e+00,  7.5851e-01, -9.9218e-01,  1.2355e+00,
         -7.1577e-01,  1.2946e-01,  8.9951e-01, -2.1227e+00,  5.7280e-01,
          1.3353e+00, -2.8603e-01],
        [-1.4095e+00,  9.2529e-03, -1.1063e+00,  1.0664e+00,  1.6218e-02,
          9.8363e-01,  5.6102e-01,  5.1092e-01,  2.6353e-01, -6.9040e-01,
         -8.5363e-01,  2.2184e-01,  6.3445e-01, -9.3230e-01,  1.2391e+00,
          1.8880e-01, -1.2567e+00, -3.1513e+00,  2.5315e-01,  1.0781e+00,
         -7.9234e-01, -6.6345e-01,  1.6909e+00,  2.1145e-01,  1.4340e+00,
         -6.8532e-01, -7.0352e-01],
        [ 1.0672e+00,  8.5831e-01,  1.7591e+00, -1.4019e-01, -5.9415e-01,
         -2.0154e+00,  4.2187e-01,  2.0020e-01,  3.6504e-01,  1.0837e+00,
          1.0204e+00,  8.5540e-01,  5.9098e-01,  6.7126e-01,  1.6477e+00,
         -1.4824e+00, -1.7261e-01,  6.0121e-01,  1.4695e+00, -1.3665e+00,
         -1.1284e+00, -5.2133e-01, -1.1040e-02,  1.4532e+00, -6.0073e-01,
          1.5248e+00, -4.9237e-01],
        [ 1.8109e-01, -6.8136e-02,  1.5189e+00,  5.1411e-01, -1.2931e-01,
          6.8373e-01, -1.3621e+00,  9.6973e-01,  8.2002e-02,  1.2605e+00,
          1.4479e+00, -8.4736e-01, -1.2288e+00,  2.0945e+00,  9.2057e-01,
          3.5878e-01,  6.6531e-01, -6.8508e-01,  1.7273e+00,  7.6601e-01,
         -8.6927e-01,  3.6203e-01,  7.5269e-02, -1.2656e+00,  9.1043e-01,
         -1.1013e+00,  3.9716e-01],
        [ 1.1930e+00, -9.4742e-01, -6.3384e-01, -1.4469e-01,  1.8327e-01,
         -5.0608e-02, -1.3058e+00, -2.0643e+00,  1.7266e+00, -7.8867e-01,
          2.3986e-01,  5.2772e-01, -6.2237e-01,  9.0013e-03, -3.2533e-01,
         -6.1221e-01, -7.5193e-01,  1.5709e-01, -1.8023e-01,  1.4977e+00,
          3.5836e-01, -1.0403e+00,  5.5459e-01, -1.7088e+00,  5.4440e-01,
          4.5197e-01, -8.6299e-01],
        [ 1.1768e+00,  9.7611e-01, -1.9951e-01,  2.4596e+00, -8.6641e-01,
          1.7904e+00,  3.1838e-01,  1.1799e+00,  9.5545e-01,  7.6290e-01,
         -8.4539e-01,  1.3161e+00,  9.0475e-02,  1.5310e+00, -1.8382e+00,
         -6.1318e-01,  4.0697e-01, -3.5021e-01, -1.5188e-01, -1.5050e+00,
          3.3738e-01, -6.6445e-01,  2.6497e-01, -2.4369e-02,  8.3965e-01,
         -2.5867e-02,  9.7773e-01],
        [-1.3221e+00,  1.0508e+00, -6.3079e-01,  9.2894e-01,  1.5024e-01,
         -7.8473e-01, -1.3340e+00, -4.9136e-01,  5.6722e-02, -1.1781e-02,
          2.6275e+00, -1.9431e-01,  1.1663e+00,  1.0396e+00,  1.0160e+00,
         -7.5029e-01,  2.4233e-01,  3.8528e-01, -7.5201e-01,  5.1649e-01,
         -1.6770e+00,  5.3006e-01,  2.1209e-01, -8.7253e-01, -5.5647e-01,
         -7.2820e-01,  4.6349e-01],
        [-1.2012e+00, -9.7902e-01, -2.3040e-01,  1.5041e+00, -1.3017e-01,
          2.7404e+00, -1.7486e+00,  1.7896e-01, -1.5548e-01,  6.0072e-01,
          3.6470e-01, -1.5318e-01, -1.2517e+00,  1.6134e+00, -1.0487e-01,
         -3.8034e-01, -2.5900e-01,  6.6846e-02,  6.2096e-01, -1.3255e+00,
         -4.1952e-01, -7.8772e-01,  1.6061e+00,  3.5608e-01, -7.8724e-01,
          1.1427e+00,  6.7585e-01],
        [-1.6724e+00,  1.2322e+00, -3.6983e-01,  1.2226e+00, -1.0902e+00,
         -1.0824e+00,  1.0808e+00, -1.8586e-01, -1.0410e+00, -1.1859e+00,
         -1.3493e-01, -2.9617e-02,  1.9200e+00,  3.9571e-01, -3.4171e-01,
         -5.8562e-01, -3.7252e-02, -5.4638e-01,  1.3532e+00,  4.7806e-01,
          8.6938e-02, -1.0011e-01,  8.1059e-01, -1.3355e+00, -1.4544e+00,
          1.2064e+00, -7.1309e-01],
        [ 5.3144e-02, -4.5289e-01,  4.1488e-01, -1.3148e-01,  9.3844e-01,
         -6.7560e-01, -2.5534e+00,  2.1669e-01, -7.7965e-01, -6.5925e-01,
         -1.8388e+00, -5.7825e-01, -4.6165e-01,  1.1399e+00,  2.4009e+00,
          4.9378e-01,  1.5860e-01,  1.2774e-01,  2.6355e-01,  1.7893e+00,
          4.5736e-01,  1.2146e+00, -8.8605e-01, -5.5705e-01,  5.1715e-01,
          1.5777e+00,  1.0590e+00]], requires_grad=True)

In [4]:

print("\n\n--- TRAINING ---")
K = 100
lr = 50
print(f'{D=}, {N=}, {K=}')
for k in range(K): # gradient descent
  # TRAINING FORWARD {k} --- (including softmax) with N examples from dataset D')
  logits_NV = x1hots_NV @ W_VV # batch matmul print(f'logits_NV: {logits_NV.shape}, {logits_NV}');
  counts_NV = logits_NV.exp() # equivalent to C_VV print(f'counts_NV: {counts_NV.shape}, {counts_NV}')
  probsycondx_NV = counts_NV / counts_NV.sum(dim=1, keepdims=True) # normalize, completing the evaluation of softmax
  # print(f'(forward) probsycondx_NV: {probsycondx_NV.shape}\n {probsycondx_NV}')

  # vectorized evaluation of loss in TEST section below
  indices_N = torch.arange(N) # in order to evaluate loss of first N examples, use torch.arange(N) NOT xindices_N
  loss = -probsycondx_NV[indices_N, yindices_N].log().mean() # however we do use yindices_N to find the corresponding likelihood predictions of the *targets*
  print(f'{k=}, {loss=}') # pluck the likelihoods, then eval the log, average it, and take the inverse
  # ...to get negative log likelihood

  # TRAINING BACKWARD {k} --- (including softmax) with N examples from dataset D')
  W_VV.grad = None # same as zeroing gradients
  loss.backward() # eval f'(x)
  # print(f'(backward): {W_VV.grad.shape}, {W_VV.grad}')

  # TRAINING STEP {k} ---\n')
  W_VV.data += -lr*W_VV.grad


--- TRAINING ---
D=32033, N=228146, K=100
k=0, loss=tensor(3.8281, grad_fn=<NegBackward0>)
k=1, loss=tensor(3.4267, grad_fn=<NegBackward0>)
k=2, loss=tensor(3.1815, grad_fn=<NegBackward0>)
k=3, loss=tensor(3.0264, grad_fn=<NegBackward0>)
k=4, loss=tensor(2.9231, grad_fn=<NegBackward0>)
k=5, loss=tensor(2.8483, grad_fn=<NegBackward0>)
k=6, loss=tensor(2.7928, grad_fn=<NegBackward0>)
k=7, loss=tensor(2.7508, grad_fn=<NegBackward0>)
k=8, loss=tensor(2.7180, grad_fn=<NegBackward0>)
k=9, loss=tensor(2.6916, grad_fn=<NegBackward0>)
k=10, loss=tensor(2.6698, grad_fn=<NegBackward0>)
k=11, loss=tensor(2.6515, grad_fn=<NegBackward0>)
k=12, loss=tensor(2.6359, grad_fn=<NegBackward0>)
k=13, loss=tensor(2.6225, grad_fn=<NegBackward0>)
k=14, loss=tensor(2.6107, grad_fn=<NegBackward0>)
k=15, loss=tensor(2.6004, grad_fn=<NegBackward0>)
k=16, loss=tensor(2.5913, grad_fn=<NegBackward0>)
k=17, loss=tensor(2.5831, grad_fn=<NegBackward0>)
k=18, loss=tensor(2.5759, grad_fn=<NegBackward0>)
k=19, loss=tensor(2.5693, grad_fn=<NegBackward0>)
k=20, loss=tensor(2.5634, grad_fn=<NegBackward0>)
k=21, loss=tensor(2.5580, grad_fn=<NegBackward0>)
k=22, loss=tensor(2.5532, grad_fn=<NegBackward0>)
k=23, loss=tensor(2.5487, grad_fn=<NegBackward0>)
k=24, loss=tensor(2.5446, grad_fn=<NegBackward0>)
k=25, loss=tensor(2.5408, grad_fn=<NegBackward0>)
k=26, loss=tensor(2.5373, grad_fn=<NegBackward0>)
k=27, loss=tensor(2.5341, grad_fn=<NegBackward0>)
k=28, loss=tensor(2.5311, grad_fn=<NegBackward0>)
k=29, loss=tensor(2.5283, grad_fn=<NegBackward0>)
k=30, loss=tensor(2.5257, grad_fn=<NegBackward0>)
k=31, loss=tensor(2.5232, grad_fn=<NegBackward0>)
k=32, loss=tensor(2.5209, grad_fn=<NegBackward0>)
k=33, loss=tensor(2.5187, grad_fn=<NegBackward0>)
k=34, loss=tensor(2.5167, grad_fn=<NegBackward0>)
k=35, loss=tensor(2.5148, grad_fn=<NegBackward0>)
k=36, loss=tensor(2.5130, grad_fn=<NegBackward0>)
k=37, loss=tensor(2.5112, grad_fn=<NegBackward0>)
k=38, loss=tensor(2.5096, grad_fn=<NegBackward0>)
k=39, loss=tensor(2.5080, grad_fn=<NegBackward0>)
k=40, loss=tensor(2.5066, grad_fn=<NegBackward0>)
k=41, loss=tensor(2.5052, grad_fn=<NegBackward0>)
k=42, loss=tensor(2.5038, grad_fn=<NegBackward0>)
k=43, loss=tensor(2.5025, grad_fn=<NegBackward0>)
k=44, loss=tensor(2.5013, grad_fn=<NegBackward0>)
k=45, loss=tensor(2.5002, grad_fn=<NegBackward0>)
k=46, loss=tensor(2.4991, grad_fn=<NegBackward0>)
k=47, loss=tensor(2.4980, grad_fn=<NegBackward0>)
k=48, loss=tensor(2.4970, grad_fn=<NegBackward0>)
k=49, loss=tensor(2.4960, grad_fn=<NegBackward0>)
k=50, loss=tensor(2.4951, grad_fn=<NegBackward0>)
k=51, loss=tensor(2.4941, grad_fn=<NegBackward0>)
k=52, loss=tensor(2.4933, grad_fn=<NegBackward0>)
k=53, loss=tensor(2.4924, grad_fn=<NegBackward0>)
k=54, loss=tensor(2.4916, grad_fn=<NegBackward0>)
k=55, loss=tensor(2.4909, grad_fn=<NegBackward0>)
k=56, loss=tensor(2.4901, grad_fn=<NegBackward0>)
k=57, loss=tensor(2.4894, grad_fn=<NegBackward0>)
k=58, loss=tensor(2.4887, grad_fn=<NegBackward0>)
k=59, loss=tensor(2.4880, grad_fn=<NegBackward0>)
k=60, loss=tensor(2.4874, grad_fn=<NegBackward0>)
k=61, loss=tensor(2.4868, grad_fn=<NegBackward0>)
k=62, loss=tensor(2.4862, grad_fn=<NegBackward0>)
k=63, loss=tensor(2.4856, grad_fn=<NegBackward0>)
k=64, loss=tensor(2.4850, grad_fn=<NegBackward0>)
k=65, loss=tensor(2.4845, grad_fn=<NegBackward0>)
k=66, loss=tensor(2.4839, grad_fn=<NegBackward0>)
k=67, loss=tensor(2.4834, grad_fn=<NegBackward0>)
k=68, loss=tensor(2.4829, grad_fn=<NegBackward0>)
k=69, loss=tensor(2.4824, grad_fn=<NegBackward0>)
k=70, loss=tensor(2.4820, grad_fn=<NegBackward0>)
k=71, loss=tensor(2.4815, grad_fn=<NegBackward0>)
k=72, loss=tensor(2.4811, grad_fn=<NegBackward0>)
k=73, loss=tensor(2.4806, grad_fn=<NegBackward0>)
k=74, loss=tensor(2.4802, grad_fn=<NegBackward0>)
k=75, loss=tensor(2.4798, grad_fn=<NegBackward0>)
k=76, loss=tensor(2.4794, grad_fn=<NegBackward0>)
k=77, loss=tensor(2.4790, grad_fn=<NegBackward0>)
k=78, loss=tensor(2.4786, grad_fn=<NegBackward0>)
k=79, loss=tensor(2.4783, grad_fn=<NegBackward0>)
k=80, loss=tensor(2.4779, grad_fn=<NegBackward0>)
k=81, loss=tensor(2.4776, grad_fn=<NegBackward0>)
k=82, loss=tensor(2.4772, grad_fn=<NegBackward0>)
k=83, loss=tensor(2.4769, grad_fn=<NegBackward0>)
k=84, loss=tensor(2.4766, grad_fn=<NegBackward0>)
k=85, loss=tensor(2.4763, grad_fn=<NegBackward0>)
k=86, loss=tensor(2.4760, grad_fn=<NegBackward0>)
k=87, loss=tensor(2.4757, grad_fn=<NegBackward0>)
k=88, loss=tensor(2.4754, grad_fn=<NegBackward0>)
k=89, loss=tensor(2.4751, grad_fn=<NegBackward0>)
k=90, loss=tensor(2.4748, grad_fn=<NegBackward0>)
k=91, loss=tensor(2.4746, grad_fn=<NegBackward0>)
k=92, loss=tensor(2.4743, grad_fn=<NegBackward0>)
k=93, loss=tensor(2.4740, grad_fn=<NegBackward0>)
k=94, loss=tensor(2.4738, grad_fn=<NegBackward0>)
k=95, loss=tensor(2.4735, grad_fn=<NegBackward0>)
k=96, loss=tensor(2.4733, grad_fn=<NegBackward0>)
k=97, loss=tensor(2.4731, grad_fn=<NegBackward0>)
k=98, loss=tensor(2.4728, grad_fn=<NegBackward0>)
k=99, loss=tensor(2.4726, grad_fn=<NegBackward0>)

1.3.2 Loss Function with Cross Entropy Loss

$↩$ Table of Contents (§1.3 Parameterizing Classification)

But what is cross-entropy? | Compression is Intelligence Part 2 (3Blue1Brown 2026)

1.3.3 Optimizing Loss with Iterative Reweighted Least Squares

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

1.3.4 Probabilistic and Decision Theoretic Perspective

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

discriminat functiondiscriminant function generative modelgenerative model discriminative modeldiscriminative model

def of conditional
product rule: joint can evaluated with the chaining of conditionals
bayes rule: posterior is prior*likelihood over the marginal (what’s the main purpose of this chapter?) (predictive model vs discriminative model vs generative model?)

Stanford CS109 Probability for Computer Scientists I Logistic Regression I 2022 I Lecture 24

Stanford CS229: Machine Learning | Summer 2019 | Lecture 5 - Perceptron and Logistic Regression

Lesson 03 – Wiener’s cybernetics, Hebbian plasticity, and Rosenblatt’s perceptron

Perceptron (2) - Machine Learning 10-715 Fall 2015

1.3.5 Evaluation with Bias Variance Tradeoff

$↩$ Table of Contents (§1.2 Next Token Prediction is Classification)

1.4 Parameterizatnig Quantification with Linear Regression

1.4 Parameterizing Quantification

1.4.1 Architecture with Linear Regression

Similarly to learning distributions $X$ from data, learning functions $f : X \to Y$ from data roughly follows the three step process of selecting a model for the task $T$ , a performance measure $P$ , and optimizing such measure on experience $E$ . Let’s take a look at the linearly modeling regression with squared error loss, a problem which straddles tools from all three languages of probability theory, linear algebra, and calculus.

For the task of house price prediction, the input space $X = R^{d}$ is the size in square feet, and the output space $Y = R$ is the price, meaning that the function which needs to be recovered has the type of $f : R^{d} \to R$ . An assumption about the structure of the data needs to be made, referred to as the inductive bias. The simplest assumption to make is to assume that there exists some linear relationship between the data $x$ and parameters $w$ so that $f$ ends up being modeled as an inner product plus bias, parameterized as $f (x; w, b)$ : $f f (x; w, b) : R^{d} \to R : = (w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} + \dots + w_{n} x_{n}) + b = (i = 1 \sum d w_{i} x_{i}) + b = w^{⊤} x + b$

Semantically speaking, each property of the input house $x_{i} \in R^{d}$ is weighted by some weight $w_{i}$ , adjusted accordingly during the learning process so that it accurately reflects the property’s influence on the output price $y \in R$ when evaluating a prediction $\overset{y}{^}$ . We can evaluate $f$ on all $x^{(i)} \in D$ with a randomly intialized $w$ to ensure we’ve wired everything up correctly.

However, while specifying the equation of the linear regression model on ~~paper~~ screen and subsequently evaluating the computation manually might have been sufficient for pre-computational mathematicians such as Gauss and Legendre, the discipline of statistical learning is entirely predicated on computational methods. Let’s continue to use PyTorch’s core n-dimensional array datastructure with torch.Tensor, this time modeling a function $f : X \to Y$ rather than some distribution $X$ :

(todo: maybe change example to closure following torch.nn)

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:1:4}}

in which we can update the names of our torch.Tensor variables with the ranks of their vector spacesReferred to as Shape Suffixes, described by Noam Shazeer, an engineer from Google to clarify what dimensions these operations are evaluated on:

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:5:8}}

and finally, actually enforce them via runtime typechecking with the jaxtyping package (try swapping the return statements below to trigger a type error with the return type):

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:9:19}}

Let’s now sanity-check that f_typechecked is wired up correctly by evaluating it on all $x^{(i)} \in D$ with random parameter w_D. (todo: use actual housing data)

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:29:41}}

random weight vector: tensor([-0.3343,  0.0768,  2.7828, -0.1331])
expected: $500000.0, actual: $-492.46
expected: $800000.0, actual: $-690.89
expected: $250000.0, actual: $-258.08

Clearly, these outputs are unintelligible, and will only become intelligible with a “good” choice of parameter $w$ . Before we find such a parameter, let’s make one more modification to our function $f$ to increase it’s performance. Rather then evaluating f_typechecked on every input xi_D in the dataset zip(X_ND,Y_N) sequentially with a loop, we can evaluate all outputs with a single matrix-vector multiplication by updating $f$ ’s function definition to the following

$f_{batched} f_{batched} (X; w) : R^{n \times d} \to R^{n} : = Xw = x_{1}^{⊤} w x_{2}^{⊤} w ⋮ x_{n}^{⊤} w$

and the corresponding PyTorch updated to

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:21:27}}

Now that we’ve selected our model for the task $T$ , we can proceed with selecting our performance measure $P$ which the learner will improve on with experience $E$ .

After the inductive bias on the family of functions has been made, the learning algorithm must find the function $\hat{f}$ with a good fit. Since artificial learning algorithms don’t have visual cortex like biological humans[], the notion of “good fit” needs to defined in a systematic fashion. This is done by selecting the parameter $θ \in R^{m}$ which maximizes the likelihood of the data $p (d; θ)$ . Returning to the linear regression inductive bias we’ve selected to model the house price data, we assume there exists noise $ϵ^{(i)}$ in both our model (epistemic uncertainty) and data (aleatoric uncertainty), so that $y^{(i)} = θ^{⊤} x^{(i)} + ϵ^{i}$ where $ϵ^{(i)} \sim N (μ, σ^{2})$

prices $y^{i}$ are normally distributed conditioned on seeing the features $x^{i}$ with the mean being the equation of the line $θ^{⊤} x^{(i)}$ where $y^{(i)} ∣ x^{(i)} \sim N (μ = θ^{⊤} x^{(i)}, σ^{2})$ , then we have that

$p (y^{(i)} ∣ x^{(i)}; θ) = N (θ^{⊤} x^{(i)}, σ^{2}) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} exp (- \frac{( y ^{(i)} - θ ^{⊤} x ^{(i)} ) ^{2}}{2 σ ^{2}})$

Returning to the linear regression model, we can solve this optimization with a direct method using normal equations. QR factorization, or SVD.

def fhatbatched(X_n: np.ndarray, m: float, b: float) -> np.ndarray: return X_n*m+b

if __name__ == "__main__":
  X, Y = np.array([1500, 2100, 800]), np.array([500000, 800000, 250000]) #  data

  X_b = np.column_stack((np.ones_like(X), X))              # [1, x]
  bhat, mhat = np.linalg.solve(X_b.T @ X_b, X_b.T @ Y)   # w = [b, m]

  yhats = fhatbatched(X, mhat, bhat) # yhat
  for y, yhat in zip(Y, yhats):
    print(f"expected: ${y:.0f}, actual: ${yhat:.2f}")

To summarize, we have selected and computed

an inductive bias with the family of linear functions $f (X; θ) : = X @ θ$
an inductive principle with the least squared loss $L (θ) : = \sum_{i = 0}^{n} (y^{(i)} - X @ θ)^{2}$
the parameters which minimze the empirical risk, denoted as $(\hat{θ}) = arg min L (θ)$

Together, the inductive bias describes the relationship between the input and output spaces, the inductive principle is the loss function that measures prediction accuracy, and the minimization of the empirical risk finds the parameters for the best predictor.

1.4.2 Loss Function with Least Squares

1.4.3 Optimization with Normal Equations

1.4.4 Optimization with Decompositions

1.4.5 Probabilistic and Decision Theoretic Perspective

1.4.6 Evaluation with Bias Variance Tradeoff

1.6 Summary

1.7 Further Reading

The primary texts consulted in the writing of this chapter were (Jurafsky and Martin 2026), (Eisenstein 2018), (Manning 2001), and (Cotterell 2024) for statistical natural language processing; (Bishop 2006) (Hastie, Tibshirani, and Friedman 2009), (Murphy 2022), (Mohri et al., 2018), and (Bach 2025), for machine learning more generally.

1.8 Problems

Intermezzo One: The Language of Continuous Mathematics

As you now know from §1. Self-Supervised Sequence Learning with Single-Layer Networks, language models are next token predictors. Whether these language models are bigram models, logistic regression models, or the GPT-2 like neural nets that we will see in Part II. Deep Neural Networks, they are all functions that produce an output distribution over the next word given some input sentence as the history. That is, they are functions of type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ Before we dive into the internals of borscht itself in §2. The Tensor and implement our own framework capable of training the bigram and logistic regression models, we will formally characterize our language model implementations from §1 using the language of calculus from high school, as well as probability and linear algebra which we will formally introduce now. The one text which was heavily consulted over others was Formal Aspects to Language Modelling (Cotterell et al., 2024). For more on formalization, please consult §A. From Problems to Proof.

Intermezzo One: The Language of Probability

I.1 Probability Spaces

Informally speaking, you intuitively understand the notion of a probability and a probability distribution. That is, a probability is a number between 0 and 1 that represents the chance, likelihood, or belief of some event happening, and a distribution is a list of such numbers. Probability distributions come from the concept of probability spaces, so before defining the former we must define the latter, which are measures of the size of sets.

Figure I.1

Figure I.1 is comprised of three components. Namely, the blue box and it’s blue dots, the colored boxes, and the mapping from the colored boxes to the $[0, 1]$ number line

the sample space $Ω$ : the set of all possible outcomes in an experiment
the event space $F$ : the set of all subsets in the sample space
probability law $P$ : a mapping from the event space to a number between 0 and 1

Conceptually speaking, the language models we’ve seen in §1. Sequence Learning such as GPT-2, the bigram model, and the logistic regression model which have type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ produce (on a single evaluation) concrete probability distributions with borscht.Tensor that come from mathematically abstract probability spaces $(Ω, F, P)$ where the sample space $Ω$ is the set of words in their vocabulary, and their belief in a word occuring is represented by probability law $P$ defined on event space $F$ .

Caution

Probability spaces are usually NOT implemented with code. For instance, GPT-2, bigram models, and logistic regression models do NOT instantiate and return Python set()s for the sample space $Ω$ , the event space $F$ , nor define some function def probability_law(event_space: set) -> float for $P$ . They return a probability distributions, which we define in §I.2 Random Variables and their Distributions. Rather, the purpose of probability spaces as a mathematical definition is conceptual clarity with general definitionsDefining concepts without commiting to internal structure allows for a much broader class of objects to be considered. This is very much like type polymorphism (generics, traits, type classes), except the generality of mathematical concepts are usually “more” general than those that might be implemented with type polymorphism. For instance, this abstract definition of a probability space is generalized to cover any random experiment we’d like to model, from rolling dice, to generating language. However it’s quite unusual to have a program need to progam both. and rigorous results with theorems.

Let us now precisely define each component of a probability space $(Ω, F, P)$ , starting with the sample space $Ω$ .

A sample space is the set of all possible outcomes in an experiment denoted by $Ω$ ( $L A T E X$ code: \Omega).

Consider flipping a coin. Then $Ω := {H, T}$ .
Consider playing rock, paper, scissors. Then $Ω := {🪨, 📄, ✂}$ .
Consider rolling a die. Then $Ω := {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅}$ .
Consider drawing a card. Then $Ω := {🂡, 🂢, 🂣, 🂤, 🂥, 🂦, 🂧, 🂨, 🂩, 🂪, 🂫, 🂭, 🂮, 🂱, 🂲, 🂳, 🂴, 🂵, 🂶, 🂷, 🂸, 🂹, 🂺, 🂻, 🂽, 🂾, 🃁, 🃂, 🃃, 🃄, 🃅, 🃆, 🃇, 🃈, 🃉, 🃊, 🃋, 🃍, 🃎, 🃑, 🃒, 🃓, 🃔, 🃕, 🃖, 🃗, 🃘, 🃙, 🃚, 🃛, 🃝, 🃞}$ .

Consider generating a word from this very sentence. Then, $Ω := {a, consider, from, generating, this, sentence, very, word}$

So conceptually speaking, language models like GPT2, the bigram model, and the logistic regression model of type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ which produce concrete distributions with borscht.Tensor on a single evaluation come from mathematically abstract probability spaces $(Ω, F, P)$ where the sample space $Ω$ is the set of words in their vocabulary, and their belief in a word occuring is represented by probability law $P$ defined on event space $F$ .

Important

Notice how we have NOT said anything about multiple evaluations of a language model’s output distribution (and probability space) over words to generate a complete sentence (in the probablity space of sentences). We will see how they relate soon.

An event space is the set of all possible subsets of the sample space denoted by $F$ ( $L A T E X$ code: \mathcal{F}).

TODO: something to say here about event spaces? cardinality of them?

vaguerpreciser

A probability law is a function $P : F \to [0, 1]$ that sends an event to a number between 0 and 1.

Consider flipping a coin. Then we model the experiment with sample space $Ω := {H, T}$ , event space $F := {\emptyset, {H}, {T}, Ω}$ , and probability law

$P : F \to [0, 1] P (\emptyset) = 1, P (H) = \frac{1}{2}, P (T) = \frac{1}{2}, P (Ω) = 1$

[!QUESTION] Why is the probability law $P$ defined as a function on the event space $F$ rather than the sample space $Ω$ ? Pause, think! Hint: Would something bad happen if we did such a thing?

vaguerpreciser

A probability law is a function $P : F \to [0, 1]$ that sends an event to a number between 0 and 1, satisfying three axioms:

non-negativity: $P (E) \geq 0$
normalization: $P (Ω) = 1$
additivity: $A \cap B = \emptyset ⟹ P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

$P ({banana, bongo}) = P ({banana} \cup {bongo}) = P ({banana}) + P ({bongo}) = 0.1 + 0.2 = 0.3 [by additivity]$

However the event $C$ which contains all foobarbaz is composed of overlapping events (corresponding to the right figure above), so the axiom of addivitiy does not apply. We can evaluate the union of non-disjoint (overlapping) events with the following corollary, known as the sum rulesum rule:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

We have now sharpened our intuitive notion of chance, belief, and probability by formally defining them as the measure of the size of sets. These sets have a home, and the measure has a domain, namely the sample space $Ω$ and the event space $F$ and together with the probability law $P$ , comprise the definition of a probability space $(Ω, F, P)$ , albeit abstractly so. Let us now connnect this mathematically abstract space to the more concrete probability distributions we used in §1. Sequence Learning.

I.2 Random Variables and their Distributions

Probability distributions are the practical and concrete borscht.Tensors we used throughout §1. Sequence Learning when implementing the bigram and logistic regression language models. So how do these connect to the abstract concept of probability spaces just defined? The answer is with random variables and their probability mass functions, which are functions that map outcomes to states, and from states to probabilities.

Figure I.2

(todo modify picture or include another picture to show distribution (probality assignment of variable taking on state))

Figure I.2 shows the same sample space $Ω$ and event space $F$ from §I.1 Probability Spaces, but rather than evaluate probabilities with the probability law $P : F \to [0, 1]$ by mapping events to the [0,1] number line (displayed in Figure I.1), we create one level of indirection with

a random variable $X : Ω \to R$ mapping outcomes in the sample space to states on the real number line and then defining
a probability mass function $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ mapping states to their probabilities.

So, starting with a sample space, you have to map outcomes to their state space with a random variable before you can evaluate their probabilities with a probability mass function, rather than evaluate them directly with a probability law. In other words, the two types are not equivalent $p_{X} (x) : R \to [0, 1] \neq = P : F \to [0, 1]$ . For example, recall from §1.1 From Certain to Uncertain Knowledge GPT-2’s borscht.Tensor output probs when passed the input string "Hello world, nice to":

import numpy as np

# GPT-2's output distribution when passed input "Hello world, nice to"
# Showing top 10 most likely words out of 50257.
tokens = [" see", " meet", " hear", " have", " be", " know", " you", " talk", " say", " get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])
for i in np.argsort(-probs):
    print(f"{tokens[i]} : {probs[i]:.4f}")

Here, there is a random variable $X : Ω \to R$ which maps outcomes from the abstract sample space $Ω := {see, meet, hear, have, be, know, you, talk, say, get}$ to concrete states $x$ in state space $R$ . That is,

$X : Ω \to R X (see) \mapsto 0, X (meet) \mapsto 1, X (hear) \mapsto 2, X (have) \mapsto 3, X (be) \mapsto 4, X (know) \mapsto 5 X (you) \mapsto 6, X (talk) \mapsto 7, X (say) \mapsto 8, X (get) \mapsto 9$

But notice the level of indirection with the random variable. All we’ve done is translate from sample space to state space. To obtain actual probabilities, we need to map from the state space $R$ to probabilities $[0, 1]$ with the probability mass function $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ . That is,

$p_{X} : R \to [0, 1] p (0) \mapsto 0.3169, p (1) \mapsto 0.1268, p (2) \mapsto 0.1246, p (3) \mapsto 0.1046, p (4) \mapsto 0.0471, p (5) \mapsto 0.0352 p (6) \mapsto 0.0320, p (7) \mapsto 0.0128, p (8) \mapsto 0.0114, p (9) \mapsto 0.0067$

In other words, starting from sample space $Ω$ we compose $X : Ω \to R$ with $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ to obtain $p_{X} \circ X : Ω \to [0, 1]$ such that evaluating $p (X (ω))$ results in the probability of outcome $ω$ . (todo. this is wrong?)

But how is the multidimensional array probs with support in $R^{∣ V ∣}$ related to the abstract concept of a probability space? You may have noticed that the definition of $p_{X}$ looks quite similar to that of the probs:

import numpy as np
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

This is because an alternative conceptualization of $R^{10}$ is some function $f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \to R$ For conveniece sake we do store the outcomes in the tokens array so that we can print them next to their probabilities by looping over states $x \in R$ with for i in np.argsort(-probs), but it’s important to note that $p_{X} (x)$ is defined on real numbered states (represented with indices), and not on set-valued events. that has support in $R^{10}$ , or more accurately, ${0, 1}^{10}$ With these two views, an alternative conceptualization of $R^{10}$ is some function $f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \to R$

todo: rvs map from one measurable space to another. we happen to like $R$

On a single evaluation language models produce such probability mass functions defined on a state space which are mapped over from an abstract sample space via random variable. In practice, we forget about the concepts of sample spaces and random variables, simply slugging around probability mass functions with borscht.Tensors that have support in n-dimensional Euclidean space, where n is the size of sample space. In other words, we keep two as conceptual mathematical definitions without implementing them with code.

At this point, you may be wondering what is the point of the random variable’s indirection? … Now that you understand the notion of random variables and probability mass functions intuitively, let’s formally define them as concepts:

somehow motivate global view

The intuition is very simple: every language model can be locally normalized. The precise formulation however, is not. proof with prefix probabilities

proof

however the converse direction is not a trivial result to establish examples

2 state model (markov chain), non-tight
2 state model (markov chain), tight (absorbs)

I.3 Probabilities of Sums, Products, Conditionals

I.4 Random Processes and their Kernels

I.5 Measurable Spaces

I.6 Vector Spaces

I.7 Further Reading

The primary texts consulted in the writing of this chapter were (Bertsekas and Tsitsiklis 2008), (Chan 2021), (Wasserman 2004), and (Durrett (2019) for probability theory; (Strang 2026), (Strang 2019), and (Axler 2026) for linear algebra; (Boyd and Vandenberghe 2004) and (Kochenderfer and Wheeler 2019) for optimization.

2. The Massively Parallel Multidimensional Tensor

2. The Massively Parallel Multidimensional Tensor

2.1 The Three Language Problem

$↩$ Table of Contents (§2. The Massively Parallel Multidimensional Tensor)

justify native for eager performance
pyo3 https://github.com/j4orz/ateenysitp/blob/master/ARCHITECTURE.md#level-1-borschts-build-configuration-and-development-environment
native components using cpython as encapsulation boundary
freethreaded python eliminates multithreading problem

/// SGEMM with the classic BLAS signature (row-major, no transposes):
/// C = alpha * A * B + beta * C
fn sgemm(
  m: usize, n: usize, k: usize,
  alpha: f32, a: &[f32], lda: usize,
  b: &[f32], ldb: usize,
  beta: f32, c: &mut [f32], ldc: usize) {
  assert!(m > 0 && n > 0 && k > 0, "mat dims must be non-zero");
  assert!(lda >= k && a.len() >= m * lda);
  assert!(ldb >= n && b.len() >= k * ldb);
  assert!(ldc >= n && c.len() >= m * ldc);

  for i in 0..m {
    for j in 0..n {
      let mut acc = 0.0f32;
      for p in 0..k { acc += a[i * lda + p] * b[p * ldb + j]; }
      let idx = i * ldc + j;
      c[idx] = alpha * acc + beta * c[idx];
    }
  }
}

fn main() {
  use std::time::Instant;

  for &n in &[16usize, 32, 64, 128, 256] {
    let (m, k) = (n, n);
    let (a, b, mut c) = (vec![1.0f32; m * k], vec![1.0f32; k * n], vec![0.0f32; m * n]);

    let t0 = Instant::now();
    sgemm(m, n, k, 1.0, &a, k, &b, n, 0.0, &mut c, n);
    let secs = t0.elapsed().as_secs_f64().max(std::f64::MIN_POSITIVE);
    let gflop = 2.0 * (m as f64) * (n as f64) * (k as f64) / 1e9;
    let gflops = gflop / secs;

    println!("m=n=k={n:4} | {:7.3} ms | {:6.2} GFLOP/s", secs * 1e3, gflops);
  }
}

2.2 Virtualizing Shapes with Strides

MiniTorch - Tensors (2.1)

2.3 Accelerating Matrix Multiplication on CPUs

$↩$ Table of Contents (§2. The Massively Parallel Multidimensional Tensor)

In which we …

2.3 Accelerating Matrix Multiplication on CPUs
- 2.3.1 Instruction Sets, Pipelines, and Hierarchies
- 2.3.1 Anatomy of High Performance Matrix Multiplication

2.3.1 Instruction Sets, Pipelines, and Hierarchies

Loop Reordering, Register and Cache Blocking

Instruction Level Parallelism via Loop Unrolling

2.4 Accelerating Matrix Multiplication on GPUs

$↩$ Table of Contents (§2. The Multidimensional Tensor)

2.4.1 How to Design Parallel Programs

Stanford CS149 I Parallel Computing I 2023 I Lecture 1 - Why Parallelism? Why Efficiency?

MIT 6.S894 - Accelerated Computing, Fall 2025 Lecture 1 - The PDP-11 Problem

UC Berkeley CS267 I Applications of Parallel Computers I Spring 2022 I Lecture 2 - Memory Hierarchies and Matrix Multiplication

2.5 Accelerating Matrix Multiplication on TPUs

$↩$ Table of Contents (§2. The Multidimensional Tensor)

2.6 From Strides to Layouts

$↩$ Table of Contents (§2. The Multidimensional Tensor)

2.7 From the BLAS to LAPACK

2.11 Summary

One quick way to summarize the milestones in high performance computing, compilers and architecture is to list the Turing Award winners: Alan Perlis (1966) for his influence on advanced programming techniques and compiler construction, including his role in designing ALGOL and establishing the discipline of programming languages as a field; John Backus (1977) for designing FORTRAN — the first high-level language to achieve widespread practical adoption — and formalizing language syntax through Backus-Naur Form; Tony Hoare (1980) for axiomatic semantics, giving programmers a formal logical framework for reasoning about program correctness; Niklaus Wirth (1984) for designing a sequence of clean, teachable languages — EULER, ALGOL-W, Pascal, and Modula — that shaped how programming languages are structured and implemented; John Cocke (1987) for pioneering optimizing compilers and the Reduced Instruction Set Computer (RISC) architecture, showing that simpler instruction sets allow faster hardware; William Kahan (1989) for fundamental contributions to numerical analysis, most consequentially the IEEE 754 floating-point standard that made reliable numerical computation reproducible across hardware; Frederick Brooks (1999) for landmark contributions to computer architecture — most notably the IBM System/360 — and for articulating the enduring lessons of large-scale software engineering; Frances Allen (2006) for foundational contributions to the theory and practice of optimizing compilers, including dataflow analysis and the program dependence graph; John Hennessy and David Patterson (2017) for a systematic, quantitative approach to designing and evaluating computer architectures, whose RISC principles underpin billions of processors and the open RISC-V standard; and Alfred Aho and Jeffrey Ullman (2020) for foundational contributions to programming language theory and compiler construction, most durably codified in the Dragon Book; and finally,Jack Dongarra (2021) for pioneering the numerical libraries — BLAS, LAPACK, and MPI — that became the substrate of high-performance scientific computing and modern deep learning accelerators;

2.12 Further Reading

The primary texts consulted in the writing of this chapter were

2.13 Problems

Plato’s Cave (Jan Pietersz Saenredam after Cornelis Cornelisz van Haarlem 1604)

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II. Neural Networks

Welcome young hacker! Glad to see you here. In Part I. Elements of Networks you have developed a solid foundation in the mathematical preliminaries and statistical models used throughout the machine learning approach to artificial intelligence. You now understand that rather than program software line by line with the logical and discretely finite descriptions of software 1.0, the discipline of statistical learning writ large recovers such a program from data by specifying and optimizing a parameterized loss function with stochastic and infintely continuous descriptions of software 2.0See Appendix B for more philosophical and historical motivation following Wittgenstein. Roughly speaking, software 1.0 is attempting to describe a reality with too many parts to count..

That is, although using the precise tools of mathematics to specify architectures, loss functions, and optimizers, the essence of the discipline is more akin to synthetic chemistry or microbiology which “grow” chemicals and cells. The deep learning revolution started bearing fruit throughout the 2010s with magical technology such as Google Translate, Apple Siri, and Tesla Autopilot, but most recently with OpenAI’s ChatGPT whose core loss function you already understand to be the cross entropy loss on next token prediction. It’s amazing how close you are to deep neural nets and the transformer architecture powering ChatGPT without even knowing. This is what we’ll get into in this second part of the book.

In §3. Self-Supervised Sequence Learning with Deep Networks, you will increase the expressivity of the linear models implemented in Part I with non-linearities to get a class of models known as deep neural networks. We will start from feedforward neural networksFFN, and move on to other architecture variants with convolutional neural networksCNN recurrent neural networksRNN, and finally, generative pre-trained transformersGPT, specifically by reproducing GPT2Presented in Language Models are Unsupervised Multitask Learners (Raford et al. 2019) following karpathy/nanogpt. These various neural network architectures express and implement different inductive biases, which were all explored during the 2012-2019 time period of what is coloqially known as the age of researchthe age of research.

Then, in §4. The Engine of Automatic Differentiation, you will evolve the implementation of borscht from a numerical linear algebra library like numpy from §2. The Multidimensional Parallelized Tensor into a full blown batteries-included deep learning framework like PyTorch’s torch which will be able to run the training and inference of the said nets just trained in §3. This means implementing the optimizersoptimizers for neural networks whose evaluations are accelerated with massively parallel processors known as GPUsGPU whose gradients are automatically evaluated with an automatic differentationautomatic differentiation engine.

After completing Part II. Neural Networks, you will be ready for Part III. Scaling Networks of the book where we finally achieve our quest of building our own ChatGPT following karpathy/nanochat and subsequently, PyTorch 2 with borscht.compile() and borscht.distributed(). Part three follows the 2020-2025 time period of what is colloquially known as the the age of scalingage of scaling where researchers focused on scaling up the generality of transformer architecture by turning the stochastic parrots from pre-trainingpre-training into assistantsassistants with a mid-trainingmid-training phase of reinforcement learning with human feedback and by adding reasoningreasoning in a post-trainingpost-training phase with verifiable rewards.

But before we get there we have some work to do.
Let’s go.

II. Table of Contents

3. Self-Supervised Sequence Learning with Deep Networks
Intermezzo Three: The Language of Neural Networks
4. The Engine of Automatic Differentiation

3. Self-Supervised Sequence Learning with Deep Networks

Gradient descent, how neural networks learn | Deep Learning Chapter 2 (3Blue1Brown 2017)

3.1 Optimization with Gradient Descent

In which we transition from direct to iterative optimization methods, given that neural networks we will encounter are highly non-convex.

3.1 Optimization with Gradient Descent

3.1.1 From Decompositions to Gradient Descent

By now, you understand that the discipline of machine learning recovers parameterized functions $f_{θ} : X \to Y$ from dataset $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 1}^{n}$ , and in the particular case of language modeling, such input space and output space is the set of all sentences $X := V^{*}$ and the set of all words $Y := V$ , the regime of learning is that of classification. That is, a language model $f$ is a next token predictor $f : V^{*} \to V$ which generates sequences by chaining the classifications of individual words with the product rule.

In §1. Self-Supervised Sequence Learning with Single-Layer Networks, we became familar with two approaches to model $\hat{f}$ , namely the bigram and logistic regression models corresponding to a stochastic matrix $P$ and a squashed weighted sum $σ (w^{⊤} x)$ respectively, which in turn are composed with decision boundary to decide on the final output $v \in V$ . That is, $f :=$ and $f_{θ} :=$ (expand). Particularly with the parameterized logistic regression $f_{θ}$ , we specified a loss function $L (θ)$ (expand, loss.mle) of such parameters and optimized it with iterative reweighted least squares. Before we move onto increasing the expressivity of our models $\hat{f}$ from single layer networks to multi layer networks, let us first introduce a new method of optimizing the loss function, namely gradient descentgradient descent which is the fundamental optmization technique for training neural nets. It wouldn’t be an overstatement to call it the $F = ma$ of deep learning.

The intuition behind gradient descent is quite simpleIn the case of $R^{2}$ and $R^{3}$ which correspond to our physical intuition. We will see how this breaks down in higher dimensions $R^{d}$ ..

$θ_{i + 1} := θ_{i} - η \nabla L (θ)$

(pseudocode) (borschtcode borscht.backwards())

3.1.2 The Gradient

3.1.2 Stochastic Gradient Descent

3.2 Learning Representations with FFNs

In which we increase the expressivity of the architecture from linear to non-linear models, namely by composing many layers of logistic regression to form of a neural network.

3.2 Learning Representations with FFNs

3.2.1 Architecture with Lots of Linear Regression

$↩$ Table of Contents (§3.2 Learning Representations with FFNs)

motivate with a single perceptron not being able to separate non-linear functions (XOR) aka multi-layer perceptron

But what is a neural network? | Deep learning chapter 1 (3Blue1Brown 2017)

Recall that the task of house price prediction and sentiment classification which can be modelled by functions of the form $f : R^{d} \to R$ and $f : R^{d} \to [0, 1]$ respectively. The simplest inductive bias was made, in a which a linear relationship was assumed to hold between the input and output spaces, and where the output was subsequently modeled as an inner product $<, >: R^{d} \times R^{d} \to R$ between an input vector and a weight vector. For the case of regression, we have $y = f (x; θ) := θ^{⊤} x$ , and for the case of classification, we have $y = f (x; θ) := σ (θ^{⊤} x)$ , todo:glm,exp. The key entry point into the function class of deep neural networks is that of logistic regression, because the log odds produced by the inner product (which are indeed affine) required a mapping into a valid probability via sigmoid function $σ : R \to [0, 1]$ , where $σ (x) := \frac{1}{1 + e ( - x )}$ which is in fact not linear nor affine.

The next natural question to ask then is whether the logistic regression model is considered a deep neural network? The answer is that technically yes, it can be considered a degenerative deep neural network with $0$ hidden layersIn the same way that a list can be considered a degenerative binary tree or graph. These so-called hidden layers automate the construction of the representation through learning, so that the model not only discovers the mapping from representation to output, but also the representation itselfIn the same way that for certain computations the positional representation of arabic numerals are more suitable compared to that of roman numerals, and polar coordinates over cartesian coordinates. See [A Representational Analysis of Numeration Systems (Zhang, Norman 1995)](A representational analysis of numeration systems Author links open overlay panel). The functions of deep neural networks will take the form of $f (x) := g \circ ϕ (x)$ with $g$ being a linear classifier on feature extractor $ϕ : R^{d_{1}} \to R^{d_{n}}$ , $ϕ (x) := h^{[l]} \circ h^{[l - 1]} \circ \dots h^{[1]} \circ h^{[0]} (x)$ where $l$ is the number of compositional layers, and each intermediate function $h^{[i]}$ has the form of $h^{[i]} : R^{d_{i}} \to R^{d_{i + 1}}$ . Each hidden layer successively and gradually lifts the complexity and abstraction of the data’s representationChris Olah, cofounder of Anthropic and the lead of it’s interpretability research wrote an excellent article on how software 2.0’s representation learning loosely correspond to software 1.0’s types in Neural Networks, Types, and Functional Programming.

Together, these two aspects of learning non-linear, representations form the essence of deep learning.

Let’s now turn out attention to the function bodies of these $h^{[i]}$ ’s with a deep neural netork of $1$ hidden layer, carrying out the task of price regression and sentiment classification so that $f$ has the form $f : R^{d} \to R$ . With the statistical learning foundation from part one, we will simply present the forward pass $f (x)$ , the loss function $L (d, θ)$ , and the backward pass $ℓ^{'} (y, \overset{y}{^}, θ)$ .

Forward Pass

The functions of deep neural networks will take the form of $f (x) := g \circ ϕ (x)$ with $g$ being a linear classifier on feature extractor

$ϕ ϕ (x) : R^{d_{1}} \to R^{d_{n}} := h^{[l]} \circ h^{[l - 1]} \circ \dots h^{[1]} \circ h^{[0]} (x)$ where $l$ is the number of compositional layers, and each intermediate function $h^{[i]}$ has the form of $h^{[i]} : R^{d_{i}} \to R^{d_{i + 1}}$ .

Loss Function

Backward Pass

TODO

figure/diagram/lecun circuits ->algebraic/symbolic equations->torch code
- first train net for price regression and classification
  - intuition of automating feature engineering
- XOR: playground.tensorflow
- change code below to XOR
- mention that 2.1 treats backward pass as a black box, which is the magic of the abstraction
- mention to readers that if they want to, they can read 2.1.3, 2.2, and then back to 2.1.4

TODO: generate prose/exposition by repaging lecture/text in ram

class MLP(nn.Module):
  """
  takes the previous block_size tokens, encodes them with a lookup table,
  concatenates the vectors and predicts the next token with an MLP.

  Reference:
  Bengio et al. 2003 https://www.jmlr.org/papers/volume3/bengio03a/bengio03a.pdf
  """

  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    self.block_size = config.block_size
    self.vocab_size = config.vocab_size
    self.wte = nn.Embedding(config.vocab_size + 1, config.n_embd) # token embeddings table
    # +1 in the line above for a special <BLANK> token that gets inserted if encoding a token
    # before the beginning of the input sequence
    self.mlp = nn.Sequential(
      nn.Linear(self.block_size * config.n_embd, config.n_embd2),
      nn.Tanh(),
      nn.Linear(config.n_embd2, self.vocab_size)
    )

  def get_block_size(self):
    return self.block_size

  def forward(self, idx, targets=None):
    # gather the word embeddings of the previous 3 words
    embs = []
    for k in range(self.block_size):
      tok_emb = self.wte(idx) # token embeddings of shape (b, t, n_embd)
      idx = torch.roll(idx, 1, 1)
      idx[:, 0] = self.vocab_size # special <BLANK> token
      embs.append(tok_emb)

    # concat all of the embeddings together and pass through an MLP
    x = torch.cat(embs, -1) # (b, t, n_embd * block_size)
    logits = self.mlp(x)

    # if we are given some desired targets also calculate the loss
    loss = None
    if targets is not None:
      loss = F.cross_entropy(logits.view(-1, logits.size(-1)), targets.view(-1), ignore_index=-1)

    return logits, loss

class MLP(nn.Module):
  """
  takes the previous block_size tokens, encodes them with a lookup table,
  concatenates the vectors and predicts the next token with an MLP.

  Reference:
  Bengio et al. 2003 https://www.jmlr.org/papers/volume3/bengio03a/bengio03a.pdf
  """

  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    self.block_size = config.block_size
    self.vocab_size = config.vocab_size
    self.wte = nn.Embedding(config.vocab_size + 1, config.n_embd) # token embeddings table
    # +1 in the line above for a special <BLANK> token that gets inserted if encoding a token
    # before the beginning of the input sequence
    self.mlp = nn.Sequential(
      nn.Linear(self.block_size * config.n_embd, config.n_embd2),
      nn.Tanh(),
      nn.Linear(config.n_embd2, self.vocab_size)
    )

  def get_block_size(self):
    return self.block_size

  def forward(self, idx, targets=None):
    # gather the word embeddings of the previous 3 words
    embs = []
    for k in range(self.block_size):
      tok_emb = self.wte(idx) # token embeddings of shape (b, t, n_embd)
      idx = torch.roll(idx, 1, 1)
      idx[:, 0] = self.vocab_size # special <BLANK> token
      embs.append(tok_emb)

    # concat all of the embeddings together and pass through an MLP
    x = torch.cat(embs, -1) # (b, t, n_embd * block_size)
    logits = self.mlp(x)

    # if we are given some desired targets also calculate the loss
    loss = None
    if targets is not None:
      loss = F.cross_entropy(logits.view(-1, logits.size(-1)), targets.view(-1), ignore_index=-1)

    return logits, loss

learning embeddings?

3.2.2 Loss Function with Cross Entropy

3.2.3 Optimization with (Stochastic) Gradient Descent

3.3 Learning Representations with CNNs

# Near copy paste of the layers we have developed in Part 3

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class Linear:
  
  def __init__(self, fan_in, fan_out, bias=True):
    self.weight = torch.randn((fan_in, fan_out)) / fan_in**0.5 # note: kaiming init
    self.bias = torch.zeros(fan_out) if bias else None
  
  def __call__(self, x):
    self.out = x @ self.weight
    if self.bias is not None:
      self.out += self.bias
    return self.out
  
  def parameters(self):
    return [self.weight] + ([] if self.bias is None else [self.bias])

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class BatchNorm1d:
  
  def __init__(self, dim, eps=1e-5, momentum=0.1):
    self.eps = eps
    self.momentum = momentum
    self.training = True
    # parameters (trained with backprop)
    self.gamma = torch.ones(dim)
    self.beta = torch.zeros(dim)
    # buffers (trained with a running 'momentum update')
    self.running_mean = torch.zeros(dim)
    self.running_var = torch.ones(dim)
  
  def __call__(self, x):
    # calculate the forward pass
    if self.training:
      if x.ndim == 2:
        dim = 0
      elif x.ndim == 3:
        dim = (0,1)
      xmean = x.mean(dim, keepdim=True) # batch mean
      xvar = x.var(dim, keepdim=True) # batch variance
    else:
      xmean = self.running_mean
      xvar = self.running_var
    xhat = (x - xmean) / torch.sqrt(xvar + self.eps) # normalize to unit variance
    self.out = self.gamma * xhat + self.beta
    # update the buffers
    if self.training:
      with torch.no_grad():
        self.running_mean = (1 - self.momentum) * self.running_mean + self.momentum * xmean
        self.running_var = (1 - self.momentum) * self.running_var + self.momentum * xvar
    return self.out
  
  def parameters(self):
    return [self.gamma, self.beta]

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class Tanh:
  def __call__(self, x):
    self.out = torch.tanh(x)
    return self.out
  def parameters(self):
    return []

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class Embedding:
  
  def __init__(self, num_embeddings, embedding_dim):
    self.weight = torch.randn((num_embeddings, embedding_dim))
    
  def __call__(self, IX):
    self.out = self.weight[IX]
    return self.out
  
  def parameters(self):
    return [self.weight]

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class FlattenConsecutive:
  
  def __init__(self, n):
    self.n = n
    
  def __call__(self, x):
    B, T, C = x.shape
    x = x.view(B, T//self.n, C*self.n)
    if x.shape[1] == 1:
      x = x.squeeze(1)
    self.out = x
    return self.out
  
  def parameters(self):
    return []

# -----------------------------------------------------------------------------------------------
class Sequential:
  
  def __init__(self, layers):
    self.layers = layers
  
  def __call__(self, x):
    for layer in self.layers:
      x = layer(x)
    self.out = x
    return self.out
  
  def parameters(self):
    # get parameters of all layers and stretch them out into one list
    return [p for layer in self.layers for p in layer.parameters()]

# original network
# n_embd = 10 # the dimensionality of the character embedding vectors
# n_hidden = 300 # the number of neurons in the hidden layer of the MLP
# model = Sequential([
#   Embedding(vocab_size, n_embd),
#   FlattenConsecutive(8), Linear(n_embd * 8, n_hidden, bias=False), BatchNorm1d(n_hidden), Tanh(),
#   Linear(n_hidden, vocab_size),
# ])

# hierarchical network
n_embd = 24 # the dimensionality of the character embedding vectors
n_hidden = 128 # the number of neurons in the hidden layer of the MLP
model = Sequential([
  Embedding(vocab_size, n_embd),
  FlattenConsecutive(2), Linear(n_embd * 2, n_hidden, bias=False), BatchNorm1d(n_hidden), Tanh(),
  FlattenConsecutive(2), Linear(n_hidden*2, n_hidden, bias=False), BatchNorm1d(n_hidden), Tanh(),
  FlattenConsecutive(2), Linear(n_hidden*2, n_hidden, bias=False), BatchNorm1d(n_hidden), Tanh(),
  Linear(n_hidden, vocab_size),
])

# parameter init
with torch.no_grad():
  model.layers[-1].weight *= 0.1 # last layer make less confident

parameters = model.parameters()
print(sum(p.nelement() for p in parameters)) # number of parameters in total
for p in parameters:
  p.requires_grad = True

3.4 Learning Representations with RNNs

class RNNCell(nn.Module):
  """
  the job of a 'Cell' is to:
  take input at current time step x_{t} and the hidden state at the
  previous time step h_{t-1} and return the resulting hidden state
  h_{t} at the current timestep
  """
  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    self.xh_to_h = nn.Linear(config.n_embd + config.n_embd2, config.n_embd2)

  def forward(self, xt, hprev):
    xh = torch.cat([xt, hprev], dim=1)
    ht = F.tanh(self.xh_to_h(xh))
    return ht

class RNN(nn.Module):
  def __init__(self, config, cell_type):
    super().__init__()
    self.block_size = config.block_size
    self.vocab_size = config.vocab_size
    self.start = nn.Parameter(torch.zeros(1, config.n_embd2)) # the starting hidden state
    self.wte = nn.Embedding(config.vocab_size, config.n_embd) # token embeddings table
    if cell_type == 'rnn':
        self.cell = RNNCell(config)
    elif cell_type == 'gru':
        self.cell = GRUCell(config)
    self.lm_head = nn.Linear(config.n_embd2, self.vocab_size)

  def get_block_size(self):
    return self.block_size

  def forward(self, idx, targets=None):
    device = idx.device
    b, t = idx.size()

    # embed all the integers up front and all at once for efficiency
    emb = self.wte(idx) # (b, t, n_embd)

    # sequentially iterate over the inputs and update the RNN state each tick
    hprev = self.start.expand((b, -1)) # expand out the batch dimension
    hiddens = []
    for i in range(t):
      xt = emb[:, i, :] # (b, n_embd)
      ht = self.cell(xt, hprev) # (b, n_embd2)
      hprev = ht
      hiddens.append(ht)

    # decode the outputs
    hidden = torch.stack(hiddens, 1) # (b, t, n_embd2)
    logits = self.lm_head(hidden)

    # if we are given some desired targets also calculate the loss
    loss = None
    if targets is not None:
      loss = F.cross_entropy(logits.view(-1, logits.size(-1)), targets.view(-1), ignore_index=-1)

    return logits, loss

3.5 Learning Representations with GPTs

In which we transition from long-range depencies of recurrent neural nets to the ___ of transformer-based neural nets.

3.5 Learning Representations with GPTs

class NewGELU(nn.Module):
  """
  Implementation of the GELU activation function currently in Google BERT repo (identical to OpenAI GPT).
  Reference: Gaussian Error Linear Units (GELU) paper: https://arxiv.org/abs/1606.08415
  """
  def forward(self, x):
    return 0.5 * x * (1.0 + torch.tanh(math.sqrt(2.0 / math.pi) * (x + 0.044715 * torch.pow(x, 3.0))))

class CausalSelfAttention(nn.Module):
  """
  A vanilla multi-head masked self-attention layer with a projection at the end.
  It is possible to use torch.nn.MultiheadAttention here but I am including an
  explicit implementation here to show that there is nothing too scary here.
  """

  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    assert config.n_embd % config.n_head == 0
    # key, query, value projections for all heads, but in a batch
    self.c_attn = nn.Linear(config.n_embd, 3 * config.n_embd)
    # output projection
    self.c_proj = nn.Linear(config.n_embd, config.n_embd)
    # causal mask to ensure that attention is only applied to the left in the input sequence
    self.register_buffer("bias", torch.tril(torch.ones(config.block_size, config.block_size))
                                  .view(1, 1, config.block_size, config.block_size))
    self.n_head = config.n_head
    self.n_embd = config.n_embd

  def forward(self, x):
    B, T, C = x.size() # batch size, sequence length, embedding dimensionality (n_embd)

    # calculate query, key, values for all heads in batch and move head forward to be the batch dim
    q, k ,v  = self.c_attn(x).split(self.n_embd, dim=2)
    k = k.view(B, T, self.n_head, C // self.n_head).transpose(1, 2) # (B, nh, T, hs)
    q = q.view(B, T, self.n_head, C // self.n_head).transpose(1, 2) # (B, nh, T, hs)
    v = v.view(B, T, self.n_head, C // self.n_head).transpose(1, 2) # (B, nh, T, hs)

    # causal self-attention; Self-attend: (B, nh, T, hs) x (B, nh, hs, T) -> (B, nh, T, T)
    att = (q @ k.transpose(-2, -1)) * (1.0 / math.sqrt(k.size(-1)))
    att = att.masked_fill(self.bias[:,:,:T,:T] == 0, float('-inf'))
    att = F.softmax(att, dim=-1)
    y = att @ v # (B, nh, T, T) x (B, nh, T, hs) -> (B, nh, T, hs)
    y = y.transpose(1, 2).contiguous().view(B, T, C) # re-assemble all head outputs side by side

    # output projection
    y = self.c_proj(y)
    return y

class Block(nn.Module):
  """ an unassuming Transformer block """

  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    self.ln_1 = nn.LayerNorm(config.n_embd)
    self.attn = CausalSelfAttention(config)
    self.ln_2 = nn.LayerNorm(config.n_embd)
    self.mlp = nn.ModuleDict(dict(
        c_fc    = nn.Linear(config.n_embd, 4 * config.n_embd),
        c_proj  = nn.Linear(4 * config.n_embd, config.n_embd),
        act     = NewGELU(),
    ))
    m = self.mlp
    self.mlpf = lambda x: m.c_proj(m.act(m.c_fc(x))) # MLP forward

  def forward(self, x):
    x = x + self.attn(self.ln_1(x))
    x = x + self.mlpf(self.ln_2(x))
    return x

class Transformer(nn.Module):
  """ Transformer Language Model, exactly as seen in GPT-2 """

  def __init__(self, config):
    super().__init__()
    self.block_size = config.block_size

    self.transformer = nn.ModuleDict(dict(
        wte = nn.Embedding(config.vocab_size, config.n_embd),
        wpe = nn.Embedding(config.block_size, config.n_embd),
        h = nn.ModuleList([Block(config) for _ in range(config.n_layer)]),
        ln_f = nn.LayerNorm(config.n_embd),
    ))
    self.lm_head = nn.Linear(config.n_embd, config.vocab_size, bias=False)

    # report number of parameters (note we don't count the decoder parameters in lm_head)
    n_params = sum(p.numel() for p in self.transformer.parameters())
    print("number of parameters: %.2fM" % (n_params/1e6,))

  def get_block_size(self):
    return self.block_size

  def forward(self, idx, targets=None):
    device = idx.device
    b, t = idx.size()
    assert t <= self.block_size, f"Cannot forward sequence of length {t}, block size is only {self.block_size}"
    pos = torch.arange(0, t, dtype=torch.long, device=device).unsqueeze(0) # shape (1, t)

    # forward the GPT model itself
    tok_emb = self.transformer.wte(idx) # token embeddings of shape (b, t, n_embd)
    pos_emb = self.transformer.wpe(pos) # position embeddings of shape (1, t, n_embd)
    x = tok_emb + pos_emb
    for block in self.transformer.h:
        x = block(x)
    x = self.transformer.ln_f(x)
    logits = self.lm_head(x)

    # if we are given some desired targets also calculate the loss
    loss = None
    if targets is not None:
        loss = F.cross_entropy(logits.view(-1, logits.size(-1)), targets.view(-1), ignore_index=-1)

    return logits, loss

Intermezzo Three. The Language of Neural Networks

4. The Engine of Automatic Differentiation

4.1 Automatic Differentation

$↩$ Table of Contents (§4.1 Automatic Differentiation)

In which we implement the engine of automatic differentiation, the magic spell AI researchers cast to receive $\nabla L (θ)$ just from the specifcation of $L$ .

4.1 Automatic Differentiation
- 4.1.1 Forward Mode with borscht.forward()
- 4.1.2 Backward Mode with borscht.backward()

4.1.1 `borscht.forward()`

Consider the function $f : R, R \to R$ where $f : = exp (x_{1}) * sin^{2} x_{2}$ , and translate it to it’s computational counterpart in python with one-dimensional Tensors:

import picograd as pg

def f(x1: pg.Tensor, x2: pg.Tensor) -> pg.Tensor:
  a = pg.exp(x1)
  b = pg.sin(x2)
  c = b**2
  d = a*c
  return d

Figure 1. Python source for the function $f : R, R \to R$ where $f : = exp (x_{1}) * sin^{2} x_{2}$

Here we’ve broken up the function to render the subexpressions more clearly. But this isn’t necessary — automatic differentiation will work if the function was expressed in one line. In part one, the development of picograd followed that of numpy — an array programming language similar to Matlab but embedded in the host language of Python, that could evaluate functions of the form $f (x)$ where Tensor objects stored their values $f (x)$ with the value: field and the function types that produced their values with Op. For instance, evaluating the specified function f from above with 9 and 10

if __name__ == "__main__":
  print(f(9, 10))

populates the Tensor.value fields. In part one of the book we verified this with a REPL-interface, but we can also represent the entire expression being evaluated with a graph of vertices and edges where the vertices are Tensors (along with their Ops and values) and the edges are their data dependencies:

Here you can see that even if the function was specified in one line, the graph of the expression always parses into Tensor vertices, and data dependency edges. You may have noticed the Tensor.grad fields, which supposedly store the values of derivatives $f^{'} (x)$ . The question now remains in how to populate these fields.

Taking a step back to differential calculus, deriving the derivative of $f : = exp (x_{1}) * sin^{2} x_{2}$ involves the application of the chain rule where $f (x) := g (h (x)) ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) h^{'} (x)$ . Evaluating the derivative of the function with respect to its inputs $f^{'} (x_{1})$ and $f^{'} (x_{2})$ results in

$f^{'} (x_{1}) = \frac{\partial}{\partial x _{1}} [exp (x_{1}) * sin^{2} x_{2}] = \frac{\partial}{\partial x _{1}} [exp (x_{1})] * sin^{2} x_{2} = exp (x_{1}) (1) * (sin^{2} x_{2})$ $f^{'} (x_{2}) = \frac{\partial}{\partial x _{2}} [exp (x_{1}) * sin^{2} x_{2}] = exp (x_{1}) * \frac{\partial}{\partial x _{2}} [sin^{2} x_{2}] = exp (x_{1}) * 2 sin x_{2} cos x_{2}$

symbolic and numeric differentiattion symbolic differentiation has performance issues since a large unrolled expression must be constructed in order to differentiate[^0], whereas numerical differentiation has correctness issues since evaluating finite differences requires evaluating functions to a precision point resulting in numerical instability. (trace through EXAMPLE for both. talking nets widrow)

To populate the Tensor.grad fields, the simplest idea would be to literally translate the manual derivation of the derivative into code. The translation from math to code involves a design decision: should we evaluate from outputs to inputs (symbolically outside-in, graphically right-to-left) or from inputs to outputs (symbolically inside-out, graphically left-to-right)? Although the former order seems more natural with symbolic expressions, there’s nothing illegal about the latter.

import picograd as pg

def f(x1: pg.Tensor, x2: pg.Tensor) -> pg.Tensor:
  a = pg.exp(x1)
  b = pg.sin(x2)
  c = b**2
  d = a*c
  return d

# dict[f(x), f'(x)] of local derivatives (adjoints)
dd_da, dd_dc = [c, a] # d(a,c):=a*c ==> d'(a)=c, d'(c)=a
da_dx1 = pg.exp(x1) # a(x1):=exp(x1) ==> a'(x1)=exp(x1)
dc_db = 2*b # c(b):=b^2 ==> c'(b)=2b
db_dx2 = pg.cos(x2) # b(x2):=sin(x2) ==> b'(x2)=cos(x2)

# outputs to inputs: outside-in symbolically, right-to-left graphically
dd_dd = pg.Tensor(1) # base case
dd_da, dd_dc = [dd_dd*dd_da, dd_dd*dd_dc]
dd_dx1 = dd_da*da_dx1 # DONE for the x1->d path

dd_db = dd_dc*dc_db
dd_dx1 = dd_db*db_dx2 # DONE for x2->path

# inputs to outputs: inside-out symbolically, left-to-right graphically
dx1_dx1, dx2_dx2 = [pg.Tensor(1), pg.Tensor(1)] # base case
da_dx1 = da_dx1*dx1_dx1
dd_dx1 = dd_da*da_dx1 # DONE for the x1->d path

db_dx2 = db_dx2*dx2_dx2
dc_dx2 = dc_dc*db_dx2
dd_dx2 = dd_dc*dc_dx_2 # DONE for the x2->d path

Do you notice any difference in the number of evaluations between the two orders?

The outputs-to-input ordering takes 6 arithmetic operations (including the destructuring), whereas the input-to-output ordering take 7 arithmetic operations. This is because the former can reuse dd_dd as a dynamic programming solution to a subproblem for the two inputs, whereas the latter cannot. And taking a step back, we only want to reuse the output because the shape of the function is of $f : R^{2} \to R$ . Alternatively, if $f$ had type $f : R \to R^{2}$ , then the input-to-output ordering would be able to reuse results. This distinction is referred to as “forward-mode” vs “reverse-mode”, and reflects the fact that for some function $f : R^{n} \to R^{m}$ the time complexity of forward-mode differentiation is proportional to $n$ , whereas that of forward-mode differentiation is proportional to $m$ . If the expression graph fans-in so that $n > m$ , reverse-mode is preferred. If the expression graph fans-out so that $m > n$ , forward-mode is preferred. However, if we take a step with a graph-theory lens, we can see that the derivative is the sum of paths, where each path is a product of local derivatives from the input source to the output sink. From a combinatorics perspective, we are calculating all the possible (ors) ways (ands) on how the inputs perturb the output. That is:

$\frac{\partial f}{\partial x _{i}} = \sum\prod \frac{\partial v _{j}}{\partial v _{k}}$

and as long as the operations along this path are associative — $(A B) C = A (BC)$ — then we can choose the order in how we perform these path products to minimize the number of operations. Finding the optimal ordering is an NP-hard problem because ____. For instance, if the expression graph is diamond-shaped, evaluating the derivative with forward-mode for the left-half and reverse-mode for the right-half would be more performant. In practice, we use reverse-mode as a heuristic, since most of the functions that are differentiated (so they can be optimized) in the field of machine learning are neural networks of the form $f : R^{n} \to R$

How can we generalize this into an algorithm?
All we need are 1. mappings from $f (x) \to f^{'} (x)$ and 2. a topological sort

For the derivative rules, the same way that optimizing compilers implement an optimization “manually” once which then gets reused many times, the authors of deep learning frameworks also implement derivatives manually which then become reused many times through automatic differentiation. In theory, we can differentiate any expression with f’(x) with only a few derivative rules for addition and multiplication, but in practice most frameworks provide sugar for complex derivatives.

For topological sort, we can simply reversed the ordering produced by a depth-first-search:

def toposort(self):
  order: list[Op] = []
  visited: set[Op] = set()

  def dfs(node: Op) -> None:
    if node in visited: return
    visited.add(node)
    for src in node.src: dfs(src)
    order.append(node)

  dfs(self)
  return order

class Tensor():
  def backward():
    for t in reversed(topo):
      t.backward()

We will now use this idea to modify the interpretation of our deep learning framework to not only evaluate $f (x)$ , but $f^{'} (x)$ as well. This is done by dynamically overloading the operators at runtime[^0] to trace the expression graph

chain_rules = PatternMatcher([
  (Pattern(OpCode.MATMUL, name="input"), lambda output_grad, input: (_____,)),
  (Pattern(OpCode.MATVEC, name="input"), lambda output_grad, input: (_____,)),
  (Pattern(OpCode.RECIPROCAL, name="input"), lambda output_grad, input: (-output_grad * input * input,)),
  (Pattern(OpCode.SIN, name="input"), lambda output_grad, input: ((math.pi/2 - input.src[0]).sin() * output_grad,)),
  (Pattern(OpCode.LOG2, name="input"), lambda output_grad, input: (output_grad / (input.src[0] * math.log(2)),)),
  (Pattern(OpCode.EXP2, name="input"), lambda output_grad, input: (input * output_grad * math.log(2),)),
  (Pattern(OpCode.SQRT, name="input"), lambda output_grad, input: (output_grad / (input*2),)),
  (Pattern(OpCode.ADD), lambda output_grad: (1.0*output_grad, 1.0*output_grad)),
  (Pattern(OpCode.MUL, name="input"), lambda output_grad, input: (input.src[1]*output_grad, input.src[0]*output_grad)),
])

class Tensor:
  def _forward(self, f:Callable, *other:Tensor) -> Tensor: #extra_args=(), **kwargs)
    out_tensor = evaluator.eval_uop([self, other], out_uop)

  def backward(self, grad:Tensor|None=None) -> Tensor:
    """
    backward performs by collecting tensors, computing gradients with automatic differentiation, and updating said tensors.
    """
    # 1. collect all tensors that requires grad by topologically sorting the graph of uops and filter
    all_uops = self.uop.toposort()
    tensors_require_grad: list[Tensor] = [t for tref in all_tensors if (t:=tref()) is not None and t.uop in all_uops and t.requires_grad]
    uops_require_grad = [t.uop for t in tensors_require_grad]
    assert grad is not None or self.shape == tuple(), "when no gradient is provided, backward must be called on a scalar tensor"
    if not (self.is_floating_point() and all(t.is_floating_point() for t in tensors_require_grad)): raise RuntimeError("only float Tensors have gradient")
    
    # 2. compute the gradient with a map of tensors to partials
    if grad is None: grad = Tensor(1.0, dtype=self.dtype, device=self.device, requires_grad=False) # base case is 1.0
    tens2grads = Tensor._automatically_differentiate(self.uop, grad.uop, set(uops_require_grad)) # skipping materializing zerod grads for now
    grads = [Tensor(g, device=t.device) for t,g in zip(tens2grads.keys, tens2grads.values)] # initialize tensor grads on device
    
    # 3. update the tensors that require grad with the gradient's partials
    for t,g in zip(tensors_require_grad, grads):
      assert g.shape == t.shape, f"grad shape must match tensor shape, {g.shape!r} != {t.shape!r}"
      t.grad = g if t.grad is None else (t.grad + g) # accumulate if t.grad exists
    return self

  @staticmethod
  def _automatically_differentiate(root:Op, root_grad:Op, targets:set[Op]) -> dict[Op, Op]:
    """
    _differentiate backpropagates partials on a topologically sorted expression graph with the chain rule
    and produces the gradient in the form of a map of ops to their partials (which, in turn, are ops)
    """
    tens2grads = {root: root_grad}

    # 1. topological sort
    in_target_path: dict[Op, bool] = {}
    for u in root.toposort(): in_target_path[u] = any(x in targets or in_target_path[x] for x in u.src)
    dfs = list(root.toposort()) # lambda node: node.op not in {OpCode.DETACH, OpCode.ASSIGN} and in_target_path[node])) # don't flow through DETACH/ASSIGN or anything not in target path

    # 2. backpropagation with the chain rule
    for tensor in reversed(dfs):
      if tensor not in tens2grads: continue

      local_grads: tuple[Op|None, ...]|None = cast(tuple[Op, ...]|None, chain_rules.rewrite(tensor, ctx=tens2grads[tensor]))
      if local_grads is None: raise RuntimeError(f"failed to compute gradient for {tensor.op}\n\nin {str(tensor)[0:1000]}...")
      assert len(local_grads) == len(tensor.src), f"got {len(local_grads)} gradient, expected {len(tensor.src)}"

      for tensor,local_grad in zip(tensor.src, local_grads): # <--------------------- MOOOSE: why are we accumulating inside ad()? don't we do it in backward()??
        if local_grad is None: continue
        if tensor in tens2grads: tens2grads[tensor] = tens2grads[tensor] + local_grad # accumulate if tensor exists
        else: tens2grads[tensor] = local_grad # o/w initialize

To implement automatic differentiation with Tensor.backward(), there is a design decision to be made — the choice of implementing it dynamically or just-in-time[^3], similar to the decision of how to implement types for general programming languages[^4]. This stands in contrast to the alternative of performing a just-in-time, source-to-source transformation.

Let’s now move onto automatically differentiating the functions of neural networks, specifically the FFN language model from earlier. (johnson/ryan adams ordering) n^2 vs n^3

4.1.2 `borscht.backward()`

$↩$ Table of Contents (§4.1 Automatic Differentiation)

4.2 Gradient-Based Optimization

In which we implement the engine of automatic differentiation, the magic spell AI researchers cast to receive $\nabla L (θ)$ just from the specifcation of $L$ .

4.2 Automatic Differentiation
- 4.2.1 Stochastic Gradient Descent with borscht.optim.sgd()
- 4.2.2 Adam with borscht.optim.adamw()

4.3 Network Primitives

4.4 Accelerating Matrix Multiplication on GPUs

https://phrack.org/issues/71/17_md

#![allow(unused)]
fn main() {
// gpu_host.rs
use cudarc::{driver::{self, PushKernelArg}, nvrtc};
use src_device::T; // shared type with device code
static PTX: &str = include_str!(concat!(env!("OUT_DIR"), "/gpu_device.ptx")); // Embed the PTX code as a static string.

pub fn cudars_helloworld() -> Result<(), Box<dyn std::error::Error>> {
  // initialize device context and stream via driver api
  let process = driver::CudaContext::new(0)?; // device 0
  let queue = process.default_stream();
  
  // load ptx via nvrtc
  let dylib = process.load_module(nvrtc::Ptx::from_src(PTX))?;
  let add_kernel = dylib.load_function("add")?;

  // allocate on device
  let (a, b): ([T; _], [T; _]) = ([1.0, 2.0, 3.0, 4.0], [2.0, 3.0, 4.0, 4.0]);
  let (a_gpu, b_gpu, mut c_gpu) = (queue.clone_htod(&a)?, queue.clone_htod(&b)?, queue.alloc_zeros::<T>(a.len())?);
  let (a_len, b_len) = (a_gpu.len(), b_gpu.len());

  let cfg = driver::LaunchConfig { grid_dim: (1, 1, 1), block_dim: (4, 1, 1), shared_mem_bytes: 0, };
  unsafe {
    queue
    .launch_builder(&add_kernel).arg(&a_gpu).arg(&a_len).arg(&b_gpu).arg(&b_len).arg(&mut c_gpu)
    .launch(cfg)?;
  }
  queue.synchronize()?;

  let c = queue.clone_dtoh(&c_gpu)?;
  println!("c from cuda is = {:?}", c);
  Ok(())
}
}

#![allow(unused)]
fn main() {
// gpu_device.rs
use cuda_std::kernel;
use crate::T;

#[allow(improper_ctypes_definitions)]
#[kernel] pub unsafe fn add(a: &[T], b: &[T], c: *mut T) {
  let i = cuda_std::thread::index_1d() as usize;
  if i < a.len() {
    let elem = unsafe { &mut *c.add(i) };
    *elem = a[i] + b[i];
  }
}

#[allow(improper_ctypes_definitions)]
#[kernel] pub unsafe fn saxpy(a: &[T], b: &[T], c: *mut T) {
  let i = cuda_std::thread::index_1d() as usize;
  todo!()
}

#[allow(improper_ctypes_definitions)]
#[kernel] pub unsafe fn smul(a: &[T], b: &[T], c: *mut T) {
  let i = cuda_std::thread::index_1d() as usize;
  todo!()
}

#[allow(improper_ctypes_definitions)]
#[kernel] pub unsafe fn stanh(a: &[T], b: &[T], c: *mut T) {
  let i = cuda_std::thread::index_1d() as usize;
  todo!()
}
}

4.5 Accelerating Matrix Multiplication on TPUs

4.6 From Strides to Layouts

4.7 Accelerating Attention

Dragon from Spencer’s Faerie Queen c. 1590 (Walter Grane 1894–1897)

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III. Scaling Networks

5. Post Training Assistants and Reasoners
6. The Dungeon of Tensor Compilers
7. The Thunder Clouds of Distributed

5. Post Training Assistants and Reasoners

6. The Dungeon of Tensor Compilers

7. The Thunder Clouds of Distributed

                         +=========================+                       
                         |   THE LIQUIDITY CYCLE   |                       
                         +=========================+                       


                                             VENTURE CAPITAL               
                   _______________      ,.-^=^=^=^=^=^=^=^=^=^;,           
                 ,;===============>>   E^ a16z   LSVP    Tiger '^3.        
               .;^                    E^       FF    Social Cap. '^3       
              //  condensation       .E    Bain   SoftBank  Accel 3^       
             /|^                     ^E  KP          Benchmark    :^       
             ||                       ^;:   YC    Greylock   GC  ;3'       
     ,.^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^;,          ^.=.=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=^         
    E^ endowments    family '^:.            \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\           
   E^                offices  '^3            \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\          
  E'  pension                  ^3. SOURCE     \\\ precipitation \\         
  ^;   funds       sovereign   3.' CAPITAL     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\        
   E;:           wealth funds ,3^  (LPs)        \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\       
    ^;._.._._._._._._._._._._,^                  \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\      
                                                               /\          
      ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^                      gamefi   /\  /\  uber eats      
      | | | | | | | |                     shitcoins/::\/::\  /::::\   /\   
      | evaporation |                             / doordash/^^^^^^\ /^^\  
      | | | | | | | |         ____________       /      \  /     hello   \ 
                             (poggers desu)     /_____ lime ____ fresh ___\
    \o/ \oXo/\oXoXo/  o       '=========='       UNPROFITABLE CONSUMER APPS
     |   | |  | | |  /|\         Oo._ /\_/\                 ,///           
  __/_\_/_X_\/_X_X_\_/_\__ /_________(@'w'@)_____________.,://'            
          SOCIETY          \''''''''  -...-''''''''''''''''' surface       
                                    THE HUMBLE               runoff        
                                    CAC FARMER

                         +==========================+
                         |      THE DATA CYCLE      |
                         +==========================+


                                               FRONTIER LABS
                   _______________      ,.-^=^=^=^=^=^=^=^=^=^;,
                 ,;===============>>   E^ OpenAI   Anthropic   '^3.
               .;^                    E^     Google      xAI     '^3
              //  labeled data       .E   Meta                    3^
             /|^                     ^E DeepMind    Mistral       :^
             ||                       ^;:           Amazon       ;3'
   ,.^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^;,            ^.=.=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=^
  E^ Scale AI    Mercor   '^:.              \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
 E^                Surge    '^3              \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
E'  Appen                    ^3. DATA         \\\ distillation  \\
^;   Remotasks    Prolific   3.' ANNOTATORS    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
 E;:           Labelbox     ,3^                 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
  ^;._.._._._._._._._._._._,^                    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
                                                               /\
    ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^                      DeepSeek   /\  /\  Qwen
    | | | | | | | |                          Kimi  /::\/::\  /::::\   /\
    | data extraction |                           / MiniMax /^^^^^^\ /^^\
    | | | | | | | |          ____________       /      \  /      Yi     \
                             (AGI 2027 :O)     /____ Baichuan __ GLM ____\
  \o/ \oXo/\oXoXo/  o        '==========='       CHINESE OPEN-SOURCE LABS
   |   | |  | | |  /|\          Oo._ /\_/\                  ,///
__/_\_/_X_\/_X_X_\_/_\__   /_________(@'w'@)_____________.,://'
        SOCIETY            \''  Cursor-Windsurf ''           MOE
                                  THE HUMBLE                 runoff
                                 POST TRAINER

Afterword

To continue deepening your knowledge on deep learning and deep learning systems, the following provide explicit offramps from SITP bridging you from nanochat to llama and from borscht to torch. Once you feel comfortable, you should graduate towards contributing to state of the art network architecture and deep learning systems at the frontier.

Good luck on your journey.
I’ll see you at work.

From `nanochat` to `llama` and `deepseek`

From `borscht` to `torch` and `jax`

Appendix

A. From Problems to Proof

In which we historically retrace the development of the foundations of mathematics, from the geometry of ancient greek mathematics, to the logicism and formalism of Göttingen, and finally, to the intuitionism and constructivism of the Valley.

Types, Expressions, Values

Whether you feel at home with Scheme, Py thon, Javascript, or OCaml, all programming languages have typestypes, expressionsexpressions, and valuesvalues. You may be familiar with REPL

Types as Propositions, Programs as Proof

In Chapter 0. From Symbolic Software 1.0 to Stochastic Software 2.0, we implemented some conversational machines that were fairly representative of early approaches to building artificial intelligence from the subdisciplines computational linguistics and natural language processing. For instance, ELIZA used regular expressions which defined a regular language in order to implement (todo) LUNAR and SHRDLU used context-free grammar defining context-free languages in order to implement a stronger syntactic and semantic analysis; finally, CYC used (todo) in order to (Todo)

Although these deterministic and finitely discrete methods of software 1.0 run into the Bitter Lesson — that is, describing a reality with too many parts to count — we will need the machinery that underlies such techniques, namely that of sets, functions, logic because the same machinery is the common unifying foundation for all of mathematics, including the set of stochastic and infinitely continuous mathematics we need for our journey up ahead with software 2.0. While we’ve introduced such languages of set theory, functions, and logic throughout chapter 0 by appealing to your intuition as a programmer, as per the opening exercept, truly effective communication and understanding requires the formalformal study of mathematics using the axiomaxiomatic method.

Historically speaking, (elements of euclid…)

The good news as a programmer is that you have an advantage to learning mathematics, because the essence of both activities are in fact one and the same with the Univalent FoundationsSee https://en.wikipedia.org/wiki/Univalent_foundations, and https://ncatlab.org/nlab/show/univalent+foundations+for+mathematics.

Let us begin.
You will understand in due time.

A sethttps://mathworld.wolfram.com/Set.htmlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Set_theoryhttps://grokipedia.com/page/Set_theoryPrinceton Companion to Mathematics §IV.22 Set Theory is a collection of elements from a specified universe of discourse. The collection of everything in the universe of discourse is called the universal set denoted by $U$ ( $L A T E X$ code: \mathcal{U})

The expression $x \in X$ ( $L A T E X$ code: \in) denotes the statement that $x$ is an element of $X$ ; we write $x \neq \in X$ ( $L A T E X$ code: \notin) to mean $\neg (x \in X)$ , that is that $x$ is not an element of $X$ .

In Lean,

#check 9 + 10
#eval 9 + 10
#eval String.append "Hello, " "World!"

#check 9 + 10

variable {α : Type*}
variable (s t u : Set α)
open Set

example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := by
  rw [subset_def, inter_def, inter_def]
  rw [subset_def] at h
  simp only [mem_setOf]
  rintro x ⟨xs, xu⟩
  exact ⟨h _ xs, xu⟩

example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := by
  simp only [subset_def, mem_inter_iff] at *
  rintro x ⟨xs, xu⟩
  exact ⟨h _ xs, xu⟩

An alphabet is a finite, non-empty set, denoted by $Σ$ ( $L A T E X$ code: \Sigma), $Δ$ ( $L A T E X$ code: \Delta). The elements of an alphabet $Σ$ are referred to as symbols, denoted by $a, b, c$ .

A string over an alphabet is any finite sequence of symbols. Strings are made up of symbols from $Σ$ and are denoted with $a = (a 1, a 2, \dots, a_{t})$ where each $a_{i} \in Σ$ .

Note

Because we are dealing with the domain of language, we will denote alphabets of symbols and strings of symbols with $w \in V$ and $s = (w 1, w 2, \dots, w_{t}), w_{i} \in V$ respectively rather than $a \in Σ$ and $a = (a 1, a 2, \dots, a_{t}), a_{i} \in Σ$ to denote the fact that our alphabets and strings are modeling vocabularies and sentences of words within the domain of language. The alphabet and string formalism of formal language theory can be applied to other domains that admit sequences of tokens i.e biology with protein folding.

Chapter 0 deals with formal language theory and set theory as if it were a natural language.

It introduces the “basic words” of the language, suggests how to compose “words” into “sentences,” and appeals to your knowledge of algebra for an intuitive understanding of these “sentences.” While this kind of introduction works to some extent, truly effective communication requires some formal study.

B. From Symbolic Software 1.0 to Stochastic Software 2.0