Frontispiece of Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (Galileo Galilei 1632)

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WeA modified excerpt from The Structure and Interpretation of Computer Programs §1: Building Abstractions with Procedures are about to study the idea of a computational process. Computational processes are abstract beings that inhabit computers. As they evolve, processes manipulate other abstract things called data. The evolution of a process is directed by a pattern of ~~rules called a program~~ parameters called a model. People ~~create programs~~ train models to direct processes. In effect, we conjure the spirits of the computer with our spells.

A computational process is indeed much like a sorcerer’s idea of a spirit. It cannot be seen or touched. It is not composed of matter at all. However, it is very real. It can perform intellectual work. It can answer questions. It can affect the world by disbursing money at a bank or by controlling a robot arm in a factory. The ~~programs~~ models we use to conjure processes are like a sorcerer’s spells. They are carefully ~~composed~~ recovered from ~~symbolic~~ numerical expressions in arcane and ~~esoteric~~ parallel programming languages that prescribe the ~~tasks~~ losses we want our processes to ~~perform~~ minimize.

I. Elements of Networks

Although separated by over 2000 years, the programmers of Silicon Valley face a daunting task quite similar to the one encountered by the mathematicians of Ancient Greece. That is, to contribute towards this new approach of augmenting and amplifying human intelligence, they must climb back down from their current pitch and backtrack to the beginner’s mind they once had.

Not different from learning another mathematical or programming language, they must transition from their finitely discrete structures and deterministic procedures tooling they have grown acustomed to and make the transition to the infintely continuous structures and stochastic procedures. Back then, ancient greek mathematicians were only comfortable with the finiteness of natural numbers like $1$ , $2$ , and $3$ , and had to grapple with the infinite nature of the real numbers such as $2$ , $π$ , and $e$ . Similarly, the programmers of today are being asked to transition from programming algorithms of sets, maps, lists, trees, and graphs to the distributions of scalars, vectors, matrices, tensors, and neural networks.

More coloquially, programmers interested in the deep learning approach to artificial intelligence must make the transition from software 1.0software 1.0 to software 2.0software 2.0 See (Karpathy 2017), a distinction used to differentiate the classical act of programming software line by line, and the newer approach of programming software by specifying a dataset, a neural net architecture with a goal, and searching the space of programs with compute. How to exactly program with this new approach will take the remainder of the book to explain.

While software 2.0 has increased the intelligence and autonomy of our devices throughout the past decade — to name a few, language understanding with Google’s Translate and Apple’s Siri, vision understanding with Tesla Autopilot — at the end of 2022 ChatGPT was released to the world marking the beginning of software 3.0software 3.0 See (Karpathy 2025), enabling the activity of programming with none other than the English language. What may be surprising to realize is that artificial intelligence like ChatGPT is “just” another computer program. However, rather than being implemented in a language like C, Java, or Javascript, it’s implemented in one that goes by the name of PyTorch, a software 2.0 programming language centered around torch.Tensor, a multidimensional array humbly embedded within a Python package.

In this whimsical whirlwind tour dubbed The Structure and Interpretation of Tensor Programs (SITP), we will embark on a quest to build from scratch our own deep neural network like ChatGPT by implementing nanochat and our own deep learning framework like PyTorch by implementing teenygrad. Whether you’re an eager high school student, an up coming college student, or a battle-tested industry programmer, SITP has been meticulously designed so that the only prerequisite required is a basic familiarity with the elements of programming, and high school calculus. Any additional experience is helpful, not mandatory.

So with that all said, go on young hacker. Venture forth!

Overture: A Lean Snake and Parallel Crab
1. Self-Supervised Sequence Learning with Single-Layer Networks
Intermezzo One: The Language of Probability and Linear Algebra
2. The Tensor
Intermezzo Two: The Language of Numerical Analysis

Overture: A Lean Snake and Parallel Crab

In which we introduce and motivate the programming languages used throughout the book, including Lean, Python, Rust, and CUDA Rust.

The Structure and Interpretation of Tensor Programs is very much a whimsical whirlwind wonderland tourSee http://www.literateprogramming.com/ to the world of deep learning and deep learning systems. And part of what makes a whirlwind tour so whimsical and wonderful is the mystery of adventure, but due to the breadth of which the SITP book covers, we briefly explain how the show is about to unfold. That is, a “how to read this book” if you will, explaining how concepts will be presented and explained.

The primary story this book tells is the one of how intertwined the activities of mathematics and programming are with respect to the discipline of deep learning. That is, the performance of the systems in which neural networks are trained on affect bottom line quality as much as their architectures. As a first approximation, you can conceptualize deep learning frameworks like torch and jax as Python packages that provide accelerated, mathematical primitives of statistical distributions, high dimensional arrays, and optimizers from probability theory, linear algebra, and calculus.

In SITP however, you will be using a framework called teenygrad, which you can roughly think of a minimal, hackable subset that avoids the complexity and cost that the more industrial frameworks offerAfter our journey together, you can take a look at the Afterword which explains the primary differences between such frameworks, thus bridging you from teenygrad to torch and jax.. In addition, not only will you be using teenygrad but also implementing your very own. By the end of the book, you will have a working implementation of teenygrad capable of running distributed training and inference for nanochat, which you are encouraged to modify, extend, and hack on thereafter. This is effectively the primary purpose of this book: for you to learn deep learning and deep learning systems in one unified treatment, which brings us to our next order of business: presenting the show’s cast with a playbill, or in other words, the map of the territory.

In order to provide accelerated mathematical primitives, deep learning frameworks (including teenygrad) are implemented with a variety of programming languages. For teenygrad specifically, we will be using four, namely that of the Lean, Python, Rust, and CUDA Rust programming languages. Such languages are referred to as host languages because they are used to implement the teenygrad deep learning language. We briefly motivate each language, explain the order in which they will be presented, suggest possible reading “passes” to iteratively and incrementally deepen your use of each language, and provide alternatives.

First, Python is of course used because that is the primary programming language in which artificial intelligence community conducts its research in, and for good reason. It’s an extremely productive one, especially for researchers who might be not as well versed in the dark arts of casting spells upon the computer. The first contact of any mathematical concept will be an intuitive and informal one, using teenygrad in Python in order to carry out a computation. Then, the second contact is in between chapters with Intermezzos, which formalize those very same concepts using dependent types provided by the interactive proof assistant Lean. These intermezzos can optionally be skipped upon a first reading. However, each successive chapter will assume and make use of the formalized concepts within each Intermezzo therein.

The third and fourth contact of a given mathematical concept are in tandem, which involves implementing teenygrad in a mix of the Python, Rust, and CUDA Rust programming languages. Systems programming languages like Rust and CUDA Rust are used in order to provide native acceleration of multi and massively parallel processors like CPUs and GPUs. For each mathematical concept, a slower version will be implemented with a mix of Python and Rust, and a faster version will be implemented with CUDA Rust.

If you find yourself more mathematically oriented and disinterested in the high performance computing and performance engineering of such mathematical primitives, you can skip any sections with CUDA Rust, and implement the sections using Rust with Python. If you find yourself inclined in such peformance engineering but are not interested in learning the Rust and CUDA Rust programming languages, you can follow along with C/C++ and CUDA C/C++, although the primary difference not much, given that Rust’s ownership is simply formalizing many of the language features of C++11 with linear types. If you find yourself interested in the performance engineering but disinterested in both Rust and C++, you can use CUDA Python.

We surface all this complexity now because we trust you to make the right decision for yourself. If you want to follow along with a pure Haskell implementation, go for it. Take charge of your own education, as ultimately you are the captain of your own ship. This is no different to professors and authors that offer courses and textbooks on compiler construction provide the freedom for learners to choose the host language you will use for your compiler — they are assuming that what is new to you is not the host language, but the principles of compiler construction itself. Similarly, this book is emphatically not about teaching any of the aforementioned four languages, but rather the principles of deep learning and deep learning systems. That is, these various programming languages are the means of SITP rather than the end.

With that being said, we briefly provide a unified introduction the three programming languages of Lean, Python, and Rust together so you can compare and contrast with the foundation you already have as a programmer in §A. From Problems to Proof, which constructs various number systems along with some elementary proofs.

With that said, down the rabbit hole we go.

1. Self-Supervised Sequence Learning with Single-Layer Networks

$↩$ Table of Contents

In which we transition to the stochastic and infinitely continuous software 2.0 by implementing ngram and linear language models with teenygrad using the languages of probability theory, linear algebra, and calculus.

1.1 From Certain to Uncertain Knowledge

$↩$ Table of Contents

In which we todo

The gifts that information revolution brought forth to humanity, at their essence, have simple explanations. As a first approximation, the digital computer can be described as 0s and 1s, the intergalactic computer network as an information highway, and the cloud as computers in the sky. The same can be said for those that the intelligence revolution is currently bringing in. Assistants can be described as llms trained with thumbs up or thumbs down, reasoners as producing chains of thought, and agents as models that have access to a command line. This magic is continuing to grow as people are even composing agents together into swarms but the key technology that underlies everything is the large language model, which itself, can be simply explained as a next token predictor. That is, given some user prompt as input, it generates an answer by repeatedly producing a probability distribution over the next word, sampling a word, and appending such word to the input.

Although ChatGPT, Claude and friends are relatively new to our universe, the idea of generating sentences with next token prediction is surprisingly not new and dates back to the work of Russian mathematician Andrey Andreyevich Markov in 1913, and shortly after Claude Shannon in 1948Will the real Claude please stand up?. So why is humanity’s so-called tech tree late to such technology? Predominantly for two reasons.

Philosophically, because of the eternal tension between the discretediscrete and continuouscontinuous methods in describing our reality. Programmers were reluctant to use stochastic and infinitely continuous techniques, favoring those that were logical and finitely discrete. However, … like a physicist position of every particle in a vacuum, even with a set of initial equations for position and momentum with equations for change, describing reality with too many parts to countbitter lesson. This created the need for statistical mechanics, describing particles with probability distributionsprobability distributions.

Practically, it’s predominantly because of the fossil-fuel like subsidy of datadata provided by the aforementioned intergalactic computer network we call the web, the computecompute provided by massively parallel processors originally designed for video games we call graphic processing units (henceforth GPUs), which can be used efficiently by a neural network architecturearchitecture called attention. This is why ChatGPT Claude are called large language modelslarge language model.

Large Language Models explained briefly (Grant Sanderson, 3Blue1Brown 2024)

Large language models are trained using methods from the discipline of deep learningdeep learning, which in turn, are based in the statistical machine learningmachine learning approach to artificial intelligence. This means, in order to produce such a probability distribution over possible next words, ChatGPT, Claude and others use a lot of mathematical machinery from the areas of probability theory (clearly), linear algebra, and calculus. We will introduce such mathematical primitives by keeping our language models simple at first in Part I. Elements of Networks — namely what is called the ngram model and linear models in which the aforementioned Markov and Shannon were working on around a century ago — before diving into the design of neural network architectures (including transformers with the attention operator) in Part II. Deep Neural Networks.

Note

If you’d like a more historical and philosophical approach in how the logical and finitely discrete techniques of software 1.0 failed to build such conversational machines, you are encouraged to visit §B. From Symbolic Software 1.0 to Stochastic Software 2.0, which covers early systems from classical computational linguistics and natural language processing. Namely, ELIZA, LUNAR, and CYC.

Up ahead we will be intuitively introducing many notions from probability and linear algebra in the context of large language modelling with numpy. At any time you find yourself interested in the formal definitions of such concepts — whether before the intuition pump, in between, or after —, you can encouraged to visit §Intermezzo One: The Language of Probability and Linear Algebra.

Demo 1.1

Consider the partial sentence “Hello world, nice to” and feed it into GPT-2 with the words “meet you” missing. When you click the button “predict”, GPT-2 produces a list of real numbers approximately represented by floating points that are between 0 and 1 and sum (or normalize) to 1, which is called a distributiondistribution, because it is distributing truth across a weighted set of values, on in other words, it’s uncertaintyuncertainty. Each number represents the probabilityprobability, chancechance, likelihoodlikelihood, or beliefbelief that GPT-2 assigns to an outcomeoutcome, which in this case is the next word.

But rather then produce a distribution with two outcomes like a coin, six outcomes like a die, or fifty two outcomes like cards, it produces one for $∣ V ∣$ outcomes, where $V$ is the set of words in some vocabulary. The size of GPT-2’s vocabulary is 50257, and the list of probabilities you see in Demo 1.1 are the top 10 most likely. As a first approximation, it’s not incorrect to conceptualize large language models as an urn containing a ball labeled with each word in the vocabulary. However, it’s important to note in the case of language that some balls are weighted heavier than others.

To be more precise, because we are passing an input sentence, such a distribution is a conditional distributionconditional distribution. That is, GPT-2 is producing the distribution of the next word conditioned on the sequence of words passed in as input, and is denoted by

$p (w given ∣ input sentence)$

and with Demo 1.1, you are asking GPT-2 to produce $p (w ∣ Hello world, nice to)$ . More accurately, each number in that list of probabilities is the chance that GPT-2 assigns a random variablerandom variable taking on outcome. A random variable is like a deterministic variable in that it can take on values, but it can possibly take on many at a single time, and are thus correspond to a distributed array of values which we call a distribution. We can print the conditional distribution that GPT-2 produces given the history $Hello world, nice to$

import numpy as np

# The same GPT-2 output distribution p(w | "Hello world, nice to") from above, top 10 of 50257 words
tokens = ["see", "meet", "hear", "have", "be", "know", "you", "talk", "say", "get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

print("Asking GPT-2 what is p(w|Hello world, nice to):")
for i in np.argsort(-probs):
    print(f"{tokens[i]} : {probs[i]:.4f}")
print(f"Total sum of p(w|Hello world, nice to): {probs.sum():.4f}")

Every random variable is endowed with a distribution, and you can conceptualize the probs distribution as the random variable, because it distributes the truth or state of the next word across a vocabulary of 50257 words. Each index i of the probs array corresponds to a value in the token outcomes tokens[i], with each probs[i] corresponding to the chance, possibility, of the random variable taking on the value tokens[i]. That is, probability is conducted with weighted array of values indexed by i. The type of a distribution $p$ is some function $p : N \to [0, 1]$ that sends indices to their probabilities, such that for all $n \in N, p (n) \geq 0$ and $n \in N \sum = 1$ . (todo: refine type of domain?)

Important

Probability can be seen as array programming! Every valid distribution which is some function $p : N \to [0, 1]$ whose values are between 0 and 1 and normalizes to 1 has a corresponding np.ndarray with .shape of (todo).

To make random variables more explicit, some people will denote distributions with them included, which in our case of a conditional distribution over next words, is $p (W = w ∣ H = h)$ or $p_{W ∣ H} (w ∣ h)$ . However, this brings us to our next point which is that with conditional distributions, the random variable being conditioned on is actually no longer random, because it is assumed that it has already taken on a value, in this case $h \in R^{4}$ where $h_{0} = Hello$ , $h_{1} = world$ , $h_{2} = nice, h_{3} = to$ . So, with $p (w ∣ h)$ more generally, there is no randomness associated with the history $h$ .

We can validate that such a distribution $p (w ∣ h)$ is valid distribution by verifying that each probability is between 0 and 1 and the distribution normalizes to 1. However, since we are only including the top 10 most likely words out of 50256, the total sum of probs is 0.8181, with the other 1-0.8181=0.1819 spread amongst the other 50256-10=50246 unseen words.

You may have also noticed that the output distribution is not a vanilla Python list, but rather one initialized with np.array, which constructs the multidimensional arraymultidimensional array np.ndarray. While we will gradually become more intimately familiar with mutldimensional arrays such as np.ndarray throughout the course of this adventure, as a first approximation multidimensional array’s are simply what they say on the tin can. That is, they are arrays with multiple dimensionsrank, enabling the representation of scalarsscalar, vectorsvector, matricesmatrix, and arbitrary tensorstensor of arbitrary rank. In the case of probs, it’s a vector with support in $R^{∣ V ∣}$ , which we can verify with the two key properties of an ndarray, namely ndarray.shape and ndarray.dtype:

import numpy as np

# The same GPT-2 output distribution p(w | "Hello world, nice to") from above, top 10 of 50257 words
tokens = ["see", " meet", " hear", " have", " be", " know", " you", " talk", " say", " get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

print("gpt-2's output distribution is stored with an np.ndarray rather than a vanilla python list")
print(f"probs.shape {type(probs.shape)}: {probs.shape}")
print(f"probs.dtype {type(probs.dtype)}: {probs.dtype}")

In [23]:

my_tuple = (3, 4, 5)
my_tuple[0] = 2

TypeError: 'tuple' object does not support item assignment

In [24]:

x_reshape.shape, x_reshape.ndim, x_reshape.T

Out[24]:

((2, 3),
 2,
 array([[5, 4],
        [2, 5],
        [3, 6]]))

In [25]:

np.sqrt(x)

Out[25]:

array([2.24, 1.41, 1.73, 2.  , 2.24, 2.45])

Where probs.shape.shape and probs.dtype.dtype evaluating to (10,) and dtype64 respectively means it’s a vector with support in $R^{10}$ whose real values are being approximately represented with double precision floating point numbers. Another important attribute is ndarray.ndim.ndim, which is len(probs.shape) and reports the rank of an array. Since probs.ndim evaluates to 1, it has a rank of 1, or equivalently, is a vector.row major (todo)row major (todo) col major (todo)col major (todo) (todo, resulting tensor from .reshape() aliases the same underlying storage with different shape and strides. )

Warning

A 10-dimensional vector is some $x^{(1)} \in R^{10}$ . A 100-dimensional vector is some $x^{(2)} \in R^{100}$ . Both vectors $x^{(1)}$ , and $x^{(2)}$ , have a rank of 1, hence why they are both considered vectors. Unfortunately with numpy a rank is stored under the ndarray.ndim attribute.

So, an array whose ndarray.ndim evaluates to 2 is not some vector $x^{(3)} \in R^{2}$ but rather, an array that is some matrix $x^{(4)} \in R^{n \times m}$ , where $n$ and $m$ are unknown since ndarray.shape was not supplied. Conversely, a multidimensional array is not simply a flat array with arbitrary length $n$ to corresponding to any vector in $R^{n}$ , but rather an array with arbitrary rank $n$ corresponding to any tensor $x^{(4)} \in R^{d_{1} \times d_{2} \times \dots \times d_{n}}$ . That is, multidimensional arrays are more accurately described as multirank arrays!

Returning to the focal point of probability and GPT-2’s conditional distribution $p (w ∣ h)$ , we now know that it corresponds with an ndarray whose .shape is (50256,), or in other words some vector $x \in R^{50256}$ . More generally, an ndarray with .shape of (V), corresponds to a vector with a support $x \in R^{∣ V ∣}$ , where $V$ is the vocabulary. (todo: context-length is dimensionality of $h$ ). For convenience sake, we analyzed the top 10 probabilities with an ndarray whose .shape was (10,), which corresponded to a vector $x \in R^{10}$ .

outcomes -> events

todo eventevent
todo probability of ORprobability of OR
todo probability of ANDprobability of AND
todo sum rulesum rule

import numpy as np

# The same GPT-2 output distribution p(w | "Hello world, nice to") from above, top 10 of 50257 words
tokens = ["see", "meet", "hear", "have", "be", "know", "you", "talk", "say", "get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs = []
for token, prob in zip(tokens, probs):
    stripped = token.strip()
    starts_with_h = stripped.startswith("h")
    starts_with_s = stripped.startswith("s")
    contains_a = "a" in stripped
    if (starts_with_h or starts_with_s) and contains_a:
        tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs.append(prob)

prob_starts_with_h_or_s_and_contains_a = sum(tokens_start_with_h_or_s_and_contains_a_probs)

print(f"probability that word starts with letter h: {prob_starts_with_h}")
print(f"probability that word starts with letter s: {prob_starts_with_s}")
print(f"probability that word starts with letter h or s: {prob_starts_with_h + prob_starts_with_s}")
print(f"probability that word starts with letter h or s, and contains letter a: {prob_starts_with_h_or_s_and_contains_a}")

(todo..numpy..vectorization)

So when you ask an LLM a question, it generates a full answer (with many sentences) word by word by repeating the following loop:

evaluating the probability of the next word conditioned on the input
selecting (or sampling) a word. halt if the word is the special END word.
appending it to the existing text, and evaluating the probability again with the modified input

Now that you understand the basics of language modeling, the trillion dollar question is how to produce such a conditional distribution $p (w ∣ h)$ ? In some sense that’s all there is to large language models.

1.2 Next Token Prediction is Classification

$↩$ Table of Contents

In which we introduce the terminology of software 2.0 in the context of language modeling, implement our first language model with biased histograms following the work of Andrey Markov and Claude Shannon in the early 20th century, evaluate said model with todo, and understand intelligence more broadly as compression.

1.2 Next Token Prediction is Classification

1.2.1 The Estimation of Software 2.0

After §1.1 From Certain to Uncertain Knowledge, you are now initiated with the basics of language modeling where models such as GPT-2 produce a conditional distribution of a sentence’s next word given those that have already occured, namely $p (w ∣ h)$ . For instance, with the input text "Hello world, nice to meet" as the history $h$ , GPT-2 produces the following distribution with an ndarray of .shape (V,) which represents a vector with support in $R^{∣ V ∣}$ . Because we are only taking the top 10 most likely words however, .shape is (10,) with support in $R^{10}$ . We now shift our attention to implementing language models like GPT-2 that can produce such a conditional distribution $p (w ∣ h)$ (todo). We will incrementally increase the expressivity of our models culiminating with GPT-2’s transformer architecture in Part II. Deep Neural Networks. But for now, we start with the basics and return to first principles.

As mentioned in the previous chapter, large language models are trained using methods from the discipline of deep learningdeep learning, which in turn are based in machine learningmachine learning, which in turn are based in statistical learningstatistical learningActually, the implementation of learning is not just limited to the stochastic and infinitely continuous methods of software 2.0, more classically known as connectionism. It’s also possible to implement with logical and finitely discrete methods of software 1.0 (symbolism), albeit with much less success. i.e inductive logic programming: https://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_logic_programming., which in turn are based in statistical inferencestatistical inference, which in turn employs the use of statistical estimationstatistical estimation. Roughly speaking, people in the business of estimation like AI researchers at frontier labs are given data (in statistical jargon, observe samples) such as the internet and would like to estimate distributions (of the population) from said data, namely a $p (w ∣ h)$ just like GPT-2. Estimation of distributions is one possible activity of making inferences from data — as opposed to simply describing data See https://en.wikipedia.org/wiki/Descriptive_statistics. — another useful form of inference is hypothesis testingSee https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_hypothesis_test., the process of deciding whether observed data provide sufficient evidence to reject a null hypothesis. The process of estimating distributions however serves as the heart of machine learning and deep learning, and since distributions are functions of type $p : N \to [0, 1]$ , estimating distributions is also commonly known as function approximationfunction approximation.

Once a distribution like $p (w ∣ h)$ is inferred from data by research labs, users can use such a distribution in order to generate sentences (which is why this most recent wave of statistical methods from software 2.0 is coloquially known as genaigenai, other previous monikers being big databig data, data miningdata mining, data sciencedata science, and pattern recognitionpattern recognition) with an inference loop, namely predicting a distribution over the next token, sampling and appending a token to the history and repeat. Generally speaking, the difference in direction of estimating a distribution from data vs generating data from a distribution is the primary distinction between probability and statistics, although the line as we will soon see gets quite blurry in the same way traditional data and function blurs with software 1.0. This distinction between the two is more broadly known as the difference between analysisanalysis and synthesissynthesisSee https://plato.stanford.edu/entries/analytic-synthetic/. Researchers analyze the observed data of the internet and recover an estimated distribution whereas users synthesize data and generate sentences. Sometimes they are referred to with direction in time: synthesis is the forward direction whereas analysis is the backward or inverse. Throughout the book, we will incrementally explore increasingly expressive languge models that can do a better job at recovering $p (w ∣ h)$ from data.

The availibility of said data determines the regime of statistical learning. That is, if sample data is available in the form of input-output pairs $d := {(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i = 1}^{n}$ , then the regime is known to be supervised learningsupervised learning, for the machine that is trying to learn a distribution via induction is being supervised with the expected outputs, whereas the regime where such data is unavailable is known as unsupervised learningunsupervised learning. Whereas in unsupervised learning the goal of inference is that of understanding (todo, foreshadow ebm?) like clustering or dimensionality reduction, with supervised learning the goal is the aforementioned statistical estimation of a function that predicts the expected output, or supervision. (TODO). For instance, with the following supervised dataset:

$d :=} {(x^{(1)} "Hello world, nice to", y^{(1)} "meet") ("Hello world, nice to", "see") ("Hello world, nice to", "finally") ("Hello world, nice to", have")$

the goal of language modelling then is to estimate some function $f$ that when given input text, predicts the next word.

Previously we’ve denoted the conditional distribution of a language model as $p (w ∣ h)$ as the probability of the next word of a sentence given some history, where the next word is the output and the given history is the input.

Moreover, the regime of supervised learning is further refined depending on the kind of output the estimated function is predicting. In the case of a categorical output, the supervised learning is known as classificationclassification for the machine’s goal (the estimated function’s output) is trying to classify the output’s category. Language modelling in particular is considered classification because the next-token prediction performed by the estimated distribution $p (y ∣ h)$ is classifying. This stands in contrast to the case when the output the estimated function is predicting is quantitative, which is known as regressionregression.

(recall that $w \in V$ where the set V is the language model’s vocabulary),
Because the type of the output is finitely discrete which stands in contrast to when the type of the output is infintely continuous such as
If the type of the output is infintely continuous like $R$ , then the supervised learning is said to be of regressionregression, which stands in contrast to when the type of output is discretely finite like $N$ , in which supervised learning is said considered to be of

Somewhat more confusingly, depending on the domain or context of statistical modeling, the terminology for inputs $x$ and outputs $y$ might be further refined. That is, independent variableindependent variable and dependent variablesdependent variable, as well as predictorspredictors and responsesresponses in the context of ___. They can also be referred to as featuresfeatures and targetstargets. The difficulty of naming is not limited to the discipline of programmingSee https://martinfowler.com/bliki/TwoHardThings.html. Whatever you want to call them, at the heart of statical learning, machine learning and deep learning is the activity of estimation, or approximations functions with inputs and outputs. two cultures of statisticstwo cultures of statistics

Warning

(todo, also add the two culture parsing/interpretation of the term.) Inference is an overloaded term, and hence ambiguous without context! In generative AI the term inference refers to the forward process of evaluating a population’s distribution $p (w ∣ h)$ in order to generate samples via prediction. In classical statistics the term inference refers to the backward process of inferring a population’s distribution from observed samples (todo estimation and hypothesis testing). Unfortunately terminology and jargon is just like syntax with programming languages! You will need to adjust the meaning of symbols depending on the context, which to foreshadow is precisely what the attention mechanism behind GPT-2’s transformer architecture ends up achieving.

1.2.2 Non-Parametric Histogram with Markov Assumption

So how do we recover the distribution $p (w ∣ h)?$ Rather than strive for perfection, we can achieve the good by introducing some biasbias, known as the Markov assumptionmarkov assumption.

sitll intractable estimate full conditionals by counting relative frequencies of truncated conditional (markov assumption)
- relative frequency is the MLE estimate
global vs local distinction. distribution over sentences vs words

a bigram character-level language model adapted from karpathy

In [1]:

dataset = open('./data/names.txt', 'r').read().splitlines()
N = len(dataset)

print("--- TRAINING (counting p(w|h) with python dict ---")
# Histogram (counting frequencies) is the most precise model for training set. it *is* the training set. but it generalizes poorly.
counts_dict = {}
for di in dataset:
  di_normalized = ['<S>'] + list(di) + ['<E>']
  for h,w in zip(di_normalized, di_normalized[1:]): # in the case of bigrams h is a single character, so we can simply zip two strings to get a pair of characters
    # print(h, w)
    counts_dict[(h,w)] = counts_dict.get((h,w), 0) + 1
sorted_counts_dict = sorted(counts_dict.items(), key = lambda x: -x[1])
print("2D (w,h) histogram using python's dict:\n", sorted_counts_dict)

--- TRAINING (counting p(w|h) with python dict ---
2D (w,h) histogram using python's dict:
 [(('n', '<E>'), 6763), (('a', '<E>'), 6640), (('a', 'n'), 5438), (('<S>', 'a'), 4410), (('e', '<E>'), 3983), (('a', 'r'), 3264), (('e', 'l'), 3248), (('r', 'i'), 3033), (('n', 'a'), 2977), (('<S>', 'k'), 2963), (('l', 'e'), 2921), (('e', 'n'), 2675), (('l', 'a'), 2623), (('m', 'a'), 2590), (('<S>', 'm'), 2538), (('a', 'l'), 2528), (('i', '<E>'), 2489), (('l', 'i'), 2480), (('i', 'a'), 2445), (('<S>', 'j'), 2422), (('o', 'n'), 2411), (('h', '<E>'), 2409), (('r', 'a'), 2356), (('a', 'h'), 2332), (('h', 'a'), 2244), (('y', 'a'), 2143), (('i', 'n'), 2126), (('<S>', 's'), 2055), (('a', 'y'), 2050), (('y', '<E>'), 2007), (('e', 'r'), 1958), (('n', 'n'), 1906), (('y', 'n'), 1826), (('k', 'a'), 1731), (('n', 'i'), 1725), (('r', 'e'), 1697), (('<S>', 'd'), 1690), (('i', 'e'), 1653), (('a', 'i'), 1650), (('<S>', 'r'), 1639), (('a', 'm'), 1634), (('l', 'y'), 1588), (('<S>', 'l'), 1572), (('<S>', 'c'), 1542), (('<S>', 'e'), 1531), (('j', 'a'), 1473), (('r', '<E>'), 1377), (('n', 'e'), 1359), (('l', 'l'), 1345), (('i', 'l'), 1345), (('i', 's'), 1316), (('l', '<E>'), 1314), (('<S>', 't'), 1308), (('<S>', 'b'), 1306), (('d', 'a'), 1303), (('s', 'h'), 1285), (('d', 'e'), 1283), (('e', 'e'), 1271), (('m', 'i'), 1256), (('s', 'a'), 1201), (('s', '<E>'), 1169), (('<S>', 'n'), 1146), (('a', 's'), 1118), (('y', 'l'), 1104), (('e', 'y'), 1070), (('o', 'r'), 1059), (('a', 'd'), 1042), (('t', 'a'), 1027), (('<S>', 'z'), 929), (('v', 'i'), 911), (('k', 'e'), 895), (('s', 'e'), 884), (('<S>', 'h'), 874), (('r', 'o'), 869), (('e', 's'), 861), (('z', 'a'), 860), (('o', '<E>'), 855), (('i', 'r'), 849), (('b', 'r'), 842), (('a', 'v'), 834), (('m', 'e'), 818), (('e', 'i'), 818), (('c', 'a'), 815), (('i', 'y'), 779), (('r', 'y'), 773), (('e', 'm'), 769), (('s', 't'), 765), (('h', 'i'), 729), (('t', 'e'), 716), (('n', 'd'), 704), (('l', 'o'), 692), (('a', 'e'), 692), (('a', 't'), 687), (('s', 'i'), 684), (('e', 'a'), 679), (('d', 'i'), 674), (('h', 'e'), 674), (('<S>', 'g'), 669), (('t', 'o'), 667), (('c', 'h'), 664), (('b', 'e'), 655), (('t', 'h'), 647), (('v', 'a'), 642), (('o', 'l'), 619), (('<S>', 'i'), 591), (('i', 'o'), 588), (('e', 't'), 580), (('v', 'e'), 568), (('a', 'k'), 568), (('a', 'a'), 556), (('c', 'e'), 551), (('a', 'b'), 541), (('i', 't'), 541), (('<S>', 'y'), 535), (('t', 'i'), 532), (('s', 'o'), 531), (('m', '<E>'), 516), (('d', '<E>'), 516), (('<S>', 'p'), 515), (('i', 'c'), 509), (('k', 'i'), 509), (('o', 's'), 504), (('n', 'o'), 496), (('t', '<E>'), 483), (('j', 'o'), 479), (('u', 's'), 474), (('a', 'c'), 470), (('n', 'y'), 465), (('e', 'v'), 463), (('s', 's'), 461), (('m', 'o'), 452), (('i', 'k'), 445), (('n', 't'), 443), (('i', 'd'), 440), (('j', 'e'), 440), (('a', 'z'), 435), (('i', 'g'), 428), (('i', 'm'), 427), (('r', 'r'), 425), (('d', 'r'), 424), (('<S>', 'f'), 417), (('u', 'r'), 414), (('r', 'l'), 413), (('y', 's'), 401), (('<S>', 'o'), 394), (('e', 'd'), 384), (('a', 'u'), 381), (('c', 'o'), 380), (('k', 'y'), 379), (('d', 'o'), 378), (('<S>', 'v'), 376), (('t', 't'), 374), (('z', 'e'), 373), (('z', 'i'), 364), (('k', '<E>'), 363), (('g', 'h'), 360), (('t', 'r'), 352), (('k', 'o'), 344), (('t', 'y'), 341), (('g', 'e'), 334), (('g', 'a'), 330), (('l', 'u'), 324), (('b', 'a'), 321), (('d', 'y'), 317), (('c', 'k'), 316), (('<S>', 'w'), 307), (('k', 'h'), 307), (('u', 'l'), 301), (('y', 'e'), 301), (('y', 'r'), 291), (('m', 'y'), 287), (('h', 'o'), 287), (('w', 'a'), 280), (('s', 'l'), 279), (('n', 's'), 278), (('i', 'z'), 277), (('u', 'n'), 275), (('o', 'u'), 275), (('n', 'g'), 273), (('y', 'd'), 272), (('c', 'i'), 271), (('y', 'o'), 271), (('i', 'v'), 269), (('e', 'o'), 269), (('o', 'm'), 261), (('r', 'u'), 252), (('f', 'a'), 242), (('b', 'i'), 217), (('s', 'y'), 215), (('n', 'c'), 213), (('h', 'y'), 213), (('p', 'a'), 209), (('r', 't'), 208), (('q', 'u'), 206), (('p', 'h'), 204), (('h', 'r'), 204), (('j', 'u'), 202), (('g', 'r'), 201), (('p', 'e'), 197), (('n', 'l'), 195), (('y', 'i'), 192), (('g', 'i'), 190), (('o', 'd'), 190), (('r', 's'), 190), (('r', 'd'), 187), (('h', 'l'), 185), (('s', 'u'), 185), (('a', 'x'), 182), (('e', 'z'), 181), (('e', 'k'), 178), (('o', 'v'), 176), (('a', 'j'), 175), (('o', 'h'), 171), (('u', 'e'), 169), (('m', 'm'), 168), (('a', 'g'), 168), (('h', 'u'), 166), (('x', '<E>'), 164), (('u', 'a'), 163), (('r', 'm'), 162), (('a', 'w'), 161), (('f', 'i'), 160), (('z', '<E>'), 160), (('u', '<E>'), 155), (('u', 'm'), 154), (('e', 'c'), 153), (('v', 'o'), 153), (('e', 'h'), 152), (('p', 'r'), 151), (('d', 'd'), 149), (('o', 'a'), 149), (('w', 'e'), 149), (('w', 'i'), 148), (('y', 'm'), 148), (('z', 'y'), 147), (('n', 'z'), 145), (('y', 'u'), 141), (('r', 'n'), 140), (('o', 'b'), 140), (('k', 'l'), 139), (('m', 'u'), 139), (('l', 'd'), 138), (('h', 'n'), 138), (('u', 'd'), 136), (('<S>', 'x'), 134), (('t', 'l'), 134), (('a', 'f'), 134), (('o', 'e'), 132), (('e', 'x'), 132), (('e', 'g'), 125), (('f', 'e'), 123), (('z', 'l'), 123), (('u', 'i'), 121), (('v', 'y'), 121), (('e', 'b'), 121), (('r', 'h'), 121), (('j', 'i'), 119), (('o', 't'), 118), (('d', 'h'), 118), (('h', 'm'), 117), (('c', 'l'), 116), (('o', 'o'), 115), (('y', 'c'), 115), (('o', 'w'), 114), (('o', 'c'), 114), (('f', 'r'), 114), (('b', '<E>'), 114), (('m', 'b'), 112), (('z', 'o'), 110), (('i', 'b'), 110), (('i', 'u'), 109), (('k', 'r'), 109), (('g', '<E>'), 108), (('y', 'v'), 106), (('t', 'z'), 105), (('b', 'o'), 105), (('c', 'y'), 104), (('y', 't'), 104), (('u', 'b'), 103), (('u', 'c'), 103), (('x', 'a'), 103), (('b', 'l'), 103), (('o', 'y'), 103), (('x', 'i'), 102), (('i', 'f'), 101), (('r', 'c'), 99), (('c', '<E>'), 97), (('m', 'r'), 97), (('n', 'u'), 96), (('o', 'p'), 95), (('i', 'h'), 95), (('k', 's'), 95), (('l', 's'), 94), (('u', 'k'), 93), (('<S>', 'q'), 92), (('d', 'u'), 92), (('s', 'm'), 90), (('r', 'k'), 90), (('i', 'x'), 89), (('v', '<E>'), 88), (('y', 'k'), 86), (('u', 'w'), 86), (('g', 'u'), 85), (('b', 'y'), 83), (('e', 'p'), 83), (('g', 'o'), 83), (('s', 'k'), 82), (('u', 't'), 82), (('a', 'p'), 82), (('e', 'f'), 82), (('i', 'i'), 82), (('r', 'v'), 80), (('f', '<E>'), 80), (('t', 'u'), 78), (('y', 'z'), 78), (('<S>', 'u'), 78), (('l', 't'), 77), (('r', 'g'), 76), (('c', 'r'), 76), (('i', 'j'), 76), (('w', 'y'), 73), (('z', 'u'), 73), (('l', 'v'), 72), (('h', 't'), 71), (('j', '<E>'), 71), (('x', 't'), 70), (('o', 'i'), 69), (('e', 'u'), 69), (('o', 'k'), 68), (('b', 'd'), 65), (('a', 'o'), 63), (('p', 'i'), 61), (('s', 'c'), 60), (('d', 'l'), 60), (('l', 'm'), 60), (('a', 'q'), 60), (('f', 'o'), 60), (('p', 'o'), 59), (('n', 'k'), 58), (('w', 'n'), 58), (('u', 'h'), 58), (('e', 'j'), 55), (('n', 'v'), 55), (('s', 'r'), 55), (('o', 'z'), 54), (('i', 'p'), 53), (('l', 'b'), 52), (('i', 'q'), 52), (('w', '<E>'), 51), (('m', 'c'), 51), (('s', 'p'), 51), (('e', 'w'), 50), (('k', 'u'), 50), (('v', 'r'), 48), (('u', 'g'), 47), (('o', 'x'), 45), (('u', 'z'), 45), (('z', 'z'), 45), (('j', 'h'), 45), (('b', 'u'), 45), (('o', 'g'), 44), (('n', 'r'), 44), (('f', 'f'), 44), (('n', 'j'), 44), (('z', 'h'), 43), (('c', 'c'), 42), (('r', 'b'), 41), (('x', 'o'), 41), (('b', 'h'), 41), (('p', 'p'), 39), (('x', 'l'), 39), (('h', 'v'), 39), (('b', 'b'), 38), (('m', 'p'), 38), (('x', 'x'), 38), (('u', 'v'), 37), (('x', 'e'), 36), (('w', 'o'), 36), (('c', 't'), 35), (('z', 'm'), 35), (('t', 's'), 35), (('m', 's'), 35), (('c', 'u'), 35), (('o', 'f'), 34), (('u', 'x'), 34), (('k', 'w'), 34), (('p', '<E>'), 33), (('g', 'l'), 32), (('z', 'r'), 32), (('d', 'n'), 31), (('g', 't'), 31), (('g', 'y'), 31), (('h', 's'), 31), (('x', 's'), 31), (('g', 's'), 30), (('x', 'y'), 30), (('y', 'g'), 30), (('d', 'm'), 30), (('d', 's'), 29), (('h', 'k'), 29), (('y', 'x'), 28), (('q', '<E>'), 28), (('g', 'n'), 27), (('y', 'b'), 27), (('g', 'w'), 26), (('n', 'h'), 26), (('k', 'n'), 26), (('g', 'g'), 25), (('d', 'g'), 25), (('l', 'c'), 25), (('r', 'j'), 25), (('w', 'u'), 25), (('l', 'k'), 24), (('m', 'd'), 24), (('s', 'w'), 24), (('s', 'n'), 24), (('h', 'd'), 24), (('w', 'h'), 23), (('y', 'j'), 23), (('y', 'y'), 23), (('r', 'z'), 23), (('d', 'w'), 23), (('w', 'r'), 22), (('t', 'n'), 22), (('l', 'f'), 22), (('y', 'h'), 22), (('r', 'w'), 21), (('s', 'b'), 21), (('m', 'n'), 20), (('f', 'l'), 20), (('w', 's'), 20), (('k', 'k'), 20), (('h', 'z'), 20), (('g', 'd'), 19), (('l', 'h'), 19), (('n', 'm'), 19), (('x', 'z'), 19), (('u', 'f'), 19), (('f', 't'), 18), (('l', 'r'), 18), (('p', 't'), 17), (('t', 'c'), 17), (('k', 't'), 17), (('d', 'v'), 17), (('u', 'p'), 16), (('p', 'l'), 16), (('l', 'w'), 16), (('p', 's'), 16), (('o', 'j'), 16), (('r', 'q'), 16), (('y', 'p'), 15), (('l', 'p'), 15), (('t', 'v'), 15), (('r', 'p'), 14), (('l', 'n'), 14), (('e', 'q'), 14), (('f', 'y'), 14), (('s', 'v'), 14), (('u', 'j'), 14), (('v', 'l'), 14), (('q', 'a'), 13), (('u', 'y'), 13), (('q', 'i'), 13), (('w', 'l'), 13), (('p', 'y'), 12), (('y', 'f'), 12), (('c', 'q'), 11), (('j', 'r'), 11), (('n', 'w'), 11), (('n', 'f'), 11), (('t', 'w'), 11), (('m', 'z'), 11), (('u', 'o'), 10), (('f', 'u'), 10), (('l', 'z'), 10), (('h', 'w'), 10), (('u', 'q'), 10), (('j', 'y'), 10), (('s', 'z'), 10), (('s', 'd'), 9), (('j', 'l'), 9), (('d', 'j'), 9), (('k', 'm'), 9), (('r', 'f'), 9), (('h', 'j'), 9), (('v', 'n'), 8), (('n', 'b'), 8), (('i', 'w'), 8), (('h', 'b'), 8), (('b', 's'), 8), (('w', 't'), 8), (('w', 'd'), 8), (('v', 'v'), 7), (('v', 'u'), 7), (('j', 's'), 7), (('m', 'j'), 7), (('f', 's'), 6), (('l', 'g'), 6), (('l', 'j'), 6), (('j', 'w'), 6), (('n', 'x'), 6), (('y', 'q'), 6), (('w', 'k'), 6), (('g', 'm'), 6), (('x', 'u'), 5), (('m', 'h'), 5), (('m', 'l'), 5), (('j', 'm'), 5), (('c', 's'), 5), (('j', 'v'), 5), (('n', 'p'), 5), (('d', 'f'), 5), (('x', 'd'), 5), (('z', 'b'), 4), (('f', 'n'), 4), (('x', 'c'), 4), (('m', 't'), 4), (('t', 'm'), 4), (('z', 'n'), 4), (('z', 't'), 4), (('p', 'u'), 4), (('c', 'z'), 4), (('b', 'n'), 4), (('z', 's'), 4), (('f', 'w'), 4), (('d', 't'), 4), (('j', 'd'), 4), (('j', 'c'), 4), (('y', 'w'), 4), (('v', 'k'), 3), (('x', 'w'), 3), (('t', 'j'), 3), (('c', 'j'), 3), (('q', 'w'), 3), (('g', 'b'), 3), (('o', 'q'), 3), (('r', 'x'), 3), (('d', 'c'), 3), (('g', 'j'), 3), (('x', 'f'), 3), (('z', 'w'), 3), (('d', 'k'), 3), (('u', 'u'), 3), (('m', 'v'), 3), (('c', 'x'), 3), (('l', 'q'), 3), (('p', 'b'), 2), (('t', 'g'), 2), (('q', 's'), 2), (('t', 'x'), 2), (('f', 'k'), 2), (('b', 't'), 2), (('j', 'n'), 2), (('k', 'c'), 2), (('z', 'k'), 2), (('s', 'j'), 2), (('s', 'f'), 2), (('z', 'j'), 2), (('n', 'q'), 2), (('f', 'z'), 2), (('h', 'g'), 2), (('w', 'w'), 2), (('k', 'j'), 2), (('j', 'k'), 2), (('w', 'm'), 2), (('z', 'c'), 2), (('z', 'v'), 2), (('w', 'f'), 2), (('q', 'm'), 2), (('k', 'z'), 2), (('j', 'j'), 2), (('z', 'p'), 2), (('j', 't'), 2), (('k', 'b'), 2), (('m', 'w'), 2), (('h', 'f'), 2), (('c', 'g'), 2), (('t', 'f'), 2), (('h', 'c'), 2), (('q', 'o'), 2), (('k', 'd'), 2), (('k', 'v'), 2), (('s', 'g'), 2), (('z', 'd'), 2), (('q', 'r'), 1), (('d', 'z'), 1), (('p', 'j'), 1), (('q', 'l'), 1), (('p', 'f'), 1), (('q', 'e'), 1), (('b', 'c'), 1), (('c', 'd'), 1), (('m', 'f'), 1), (('p', 'n'), 1), (('w', 'b'), 1), (('p', 'c'), 1), (('h', 'p'), 1), (('f', 'h'), 1), (('b', 'j'), 1), (('f', 'g'), 1), (('z', 'g'), 1), (('c', 'p'), 1), (('p', 'k'), 1), (('p', 'm'), 1), (('x', 'n'), 1), (('s', 'q'), 1), (('k', 'f'), 1), (('m', 'k'), 1), (('x', 'h'), 1), (('g', 'f'), 1), (('v', 'b'), 1), (('j', 'p'), 1), (('g', 'z'), 1), (('v', 'd'), 1), (('d', 'b'), 1), (('v', 'h'), 1), (('h', 'h'), 1), (('g', 'v'), 1), (('d', 'q'), 1), (('x', 'b'), 1), (('w', 'z'), 1), (('h', 'q'), 1), (('j', 'b'), 1), (('x', 'm'), 1), (('w', 'g'), 1), (('t', 'b'), 1), (('z', 'x'), 1)]

In []:

print("--- TRAINING (counting p(w|h) with numpy ndarray (NxN) ---")
# We will now construct the same 2d histogram, but with numpy's ndarray instead of python's dict
# Because numpy's ndarray uses numerical indices to index into, we need to create a dict[str,int]
# so that when we loop over (w,h) pairs within a word we can update the count at the correct location
import numpy as np
vocab = sorted(list(set(''.join(dataset)))) # construct vocab
c2i = {c:i+1 for i,c in enumerate(vocab)}                      # construct map<char,ord>
c2i['.'] = 0                                                                            # with . as the start token and end token, to remove counting freq of (<E>*) and (*<S>) which are all 0
V = len(c2i)                                                                   # evaluate the vocab len V
C_VV = np.zeros((V,V), dtype=np.int32)      # and use V to construct C_VV

# Now we can proceed
for di in dataset:
  di_normalized = ['.'] + list(di) + ['.']
  for h,w in zip(di_normalized, di_normalized[1:]):
    print(h,w)
    h_index, w_index = c2i[h], c2i[w]                                         # use map<char, ord> to lookup the coordinate index needed for C_VV
    C_VV[h_index, w_index] += 1                                                         # update C_VV
print("2D (xt,xt-1) histogram using numpy dict:\n", C_VV)

# normalize counts C_VV to probs P_VV
C_VVf32 = (C_VV+1).astype(np.float32)           # inductive bias (locally smooth)
s_V1 = C_VVf32.sum(axis=1,keepdims=True)              # reduce along axis=1 because we want p(y|x) not p(x|y)
P_VV = C_VVf32 / s_V1                                                                   # (V, V) / (V, 1) broadcasts

# for P_VV, the elements are the counts of bigrams (h,w) accessed by indexing with ord(h) at axis=0 and ord(w) at axis=1
# now, since numpy's ndarray's are row major order, axis=0 gets printed vertically from up to down while axis=1 gets printed horizontally from left to right
i2c = {i:c for c,i in c2i.items()}  # invert map<char, ord> to map<ord, char> because looping with enumerate provides access to indices
header = '    ' + ' '.join(f'{i2c[y_index]:>4}' for y_index in range(V))
print("2D (ord, ord) histogram using numpy ndarray")
print(header)
for w_index, row in enumerate(C_VV+1):
  h = f'{i2c[w_index]:>4}'
  print(h, ' '.join(f'{count:>4}' for count in row))

--- TRAINING (counting p(w|h) with numpy ndarray (NxN) ---
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2D (xt,xt-1) histogram using numpy dict:
 [[   0 4410 1306 1542 1690 1531  417  669  874  591 2422 2963 1572 2538
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 [6640  556  541  470 1042  692  134  168 2332 1650  175  568 2528 1634
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 [ 114  321   38    1   65  655    0    0   41  217    1    0  103    0
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 [  97  815    0   42    1  551    0    2  664  271    3  316  116    0
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 [ 516 1303    1    3  149 1283    5   25  118  674    9    3   60   30
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 [3983  679  121  153  384 1271   82  125  152  818   55  178 3248  769
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 [  80  242    0    0    0  123   44    1    1  160    0    2   20    0
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 [2409 2244    8    2   24  674    2    2    1  729    9   29  185  117
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 [2489 2445  110  509  440 1653  101  428   95   82   76  445 1345  427
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 [  71 1473    1    4    4  440    0    0   45  119    2    2    9    5
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 [1314 2623   52   25  138 2921   22    6   19 2480    6   24 1345   60
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 [ 516 2590  112   51   24  818    1    0    5 1256    7    1    5  168
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 [6763 2977    8  213  704 1359   11  273   26 1725   44   58  195   19
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 [ 855  149  140  114  190  132   34   44  171   69   16   68  619  261
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 [  33  209    2    1    0  197    1    0  204   61    1    1   16    1
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 [  28   13    0    0    0    1    0    0    0   13    0    0    1    2
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 [1377 2356   41   99  187 1697    9   76  121 3033   25   90  413  162
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 [1169 1201   21   60    9  884    2    2 1285  684    2   82  279   90
    24  531   51    1   55  461  765  185   14   24    0  215   10]
 [ 483 1027    1   17    0  716    2    2  647  532    3    0  134    4
    22  667    0    0  352   35  374   78   15   11    2  341  105]
 [ 155  163  103  103  136  169   19   47   58  121   14   93  301  154
   275   10   16   10  414  474   82    3   37   86   34   13   45]
 [  88  642    1    0    1  568    0    0    1  911    0    3   14    0
     8  153    0    0   48    0    0    7    7    0    0  121    0]
 [  51  280    1    0    8  149    2    1   23  148    0    6   13    2
    58   36    0    0   22   20    8   25    0    2    0   73    1]
 [ 164  103    1    4    5   36    3    0    1  102    0    0   39    1
     1   41    0    0    0   31   70    5    0    3   38   30   19]
 [2007 2143   27  115  272  301   12   30   22  192   23   86 1104  148
  1826  271   15    6  291  401  104  141  106    4   28   23   78]
 [ 160  860    4    2    2  373    0    1   43  364    2    2  123   35
     4  110    2    0   32    4    4   73    2    3    1  147   45]]
2D (ord, ord) histogram using numpy ndarray
       .    a    b    c    d    e    f    g    h    i    j    k    l    m    n    o    p    q    r    s    t    u    v    w    x    y    z
   .    1 4411 1307 1543 1691 1532  418  670  875  592 2423 2964 1573 2539 1147  395  516   93 1640 2056 1309   79  377  308  135  536  930
   a 6641  557  542  471 1043  693  135  169 2333 1651  176  569 2529 1635 5439   64   83   61 3265 1119  688  382  835  162  183 2051  436
   b  115  322   39    2   66  656    1    1   42  218    2    1  104    1    5  106    1    1  843    9    3   46    1    1    1   84    1
   c   98  816    1   43    2  552    1    3  665  272    4  317  117    1    1  381    2   12   77    6   36   36    1    1    4  105    5
   d  517 1304    2    4  150 1284    6   26  119  675   10    4   61   31   32  379    1    2  425   30    5   93   18   24    1  318    2
   e 3984  680  122  154  385 1272   83  126  153  819   56  179 3249  770 2676  270   84   15 1959  862  581   70  464   51  133 1071  182
   f   81  243    1    1    1  124   45    2    2  161    1    3   21    1    5   61    1    1  115    7   19   11    1    5    1   15    3
   g  109  331    4    1   20  335    2   26  361  191    4    1   33    7   28   84    1    1  202   31   32   86    2   27    1   32    2
   h 2410 2245    9    3   25  675    3    3    2  730   10   30  186  118  139  288    2    2  205   32   72  167   40   11    1  214   21
   i 2490 2446  111  510  441 1654  102  429   96   83   77  446 1346  428 2127  589   54   53  850 1317  542  110  270    9   90  780  278
   j   72 1474    2    5    5  441    1    1   46  120    3    3   10    6    3  480    2    1   12    8    3  203    6    7    1   11    1
   k  364 1732    3    3    3  896    2    1  308  510    3   21  140   10   27  345    1    1  110   96   18   51    3   35    1  380    3
   l 1315 2624   53   26  139 2922   23    7   20 2481    7   25 1346   61   15  693   16    4   19   95   78  325   73   17    1 1589   11
   m  517 2591  113   52   25  819    2    1    6 1257    8    2    6  169   21  453   39    1   98   36    5  140    4    3    1  288   12
   n 6764 2978    9  214  705 1360   12  274   27 1726   45   59  196   20 1907  497    6    3   45  279  444   97   56   12    7  466  146
   o  856  150  141  115  191  133   35   45  172   70   17   69  620  262 2412  116   96    4 1060  505  119  276  177  115   46  104   55
   p   34  210    3    2    1  198    2    1  205   62    2    2   17    2    2   60   40    1  152   17   18    5    1    1    1   13    1
   q   29   14    1    1    1    2    1    1    1   14    1    1    2    3    1    3    1    1    2    3    1  207    1    4    1    1    1
   r 1378 2357   42  100  188 1698   10   77  122 3034   26   91  414  163  141  870   15   17  426  191  209  253   81   22    4  774   24
   s 1170 1202   22   61   10  885    3    3 1286  685    3   83  280   91   25  532   52    2   56  462  766  186   15   25    1  216   11
   t  484 1028    2   18    1  717    3    3  648  533    4    1  135    5   23  668    1    1  353   36  375   79   16   12    3  342  106
   u  156  164  104  104  137  170   20   48   59  122   15   94  302  155  276   11   17   11  415  475   83    4   38   87   35   14   46
   v   89  643    2    1    2  569    1    1    2  912    1    4   15    1    9  154    1    1   49    1    1    8    8    1    1  122    1
   w   52  281    2    1    9  150    3    2   24  149    1    7   14    3   59   37    1    1   23   21    9   26    1    3    1   74    2
   x  165  104    2    5    6   37    4    1    2  103    1    1   40    2    2   42    1    1    1   32   71    6    1    4   39   31   20
   y 2008 2144   28  116  273  302   13   31   23  193   24   87 1105  149 1827  272   16    7  292  402  105  142  107    5   29   24   79
   z  161  861    5    3    3  374    1    2   44  365    3    3  124   36    5  111    3    1   33    5    5   74    3    4    2  148   46

In [3]:

print("\n\n--- INFERENCE (GENERATING a name by 1. evaluating p(W=w|H=h), appending, and repeating ---")
rng = np.random.default_rng(1337)
sample_count = 10

for _ in range(sample_count):
  h, h_index = [], 0
  while True:
    # 1. evaluate p(W=w|h)
    pWcondH_V = P_VV[h_index].squeeze()

    # 2. sampling
    h_index = rng.choice(len(pWcondH_V), size=1, replace=True, p=pWcondH_V)
    sample_char = i2c[h_index.item()]

    # 3. appending the sample to history
    h.append (sample_char)
    if h_index == 0: break
  print(''.join(h))


--- INFERENCE (GENERATING a name by 1. evaluating p(W=w|H=h), appending, and repeating ---
sawyoa.
gho.
don.
ie.
t.
sh.
ror.
myn.
aynyn.
abornahr.

In [4]:

loglikelihooddataset,n = 0.0, 0
for di in dataset:
  di_normalized = ['.'] + list(di) + ['.']
  for h,w in zip(di_normalized, di_normalized[1:]):
    w_index, h_index = c2i[h], c2i[w] # use map<char, ord> to lookup the coordinate index needed for P_VV
    pycondx = P_VV[w_index, h_index] # maximize likelihood
    logpycondx = np.log(pycondx)     # maximize loglikelihood

    loglikelihooddataset += logpycondx
    n += 1
    # print(f'{x_char}{y_char}: {pycondx:.4f} {logpycondx:.4f}')



nlldataset = -loglikelihooddataset   # minimize -loglikelihood
avgnlldataset = nlldataset / n       # minimize -1/n loglikelihood
print(f'{loglikelihooddataset=}')
print(f'{nlldataset=}')
print(f'{avgnlldataset=}')

loglikelihooddataset=np.float32(-559951.56)
nlldataset=np.float32(559951.56)
avgnlldataset=np.float32(2.4543562)

1.2.3 Evaluation with Perplexity

1.2.4 Intelligence as Compression

1.3 Parameterizing Classifcation

$↩$ Table of Contents

1.4 Categorical Parameterization

1.4.1 Architecture with Single Layer Network

1.4.2 Loss Function with Cross Entropy Loss

1.4.3 Optimization with Gradient Descent

1.4.4 Inference, Decision, and Discriminants

discriminat functiondiscriminant function generative modelgenerative model discriminative modeldiscriminative model

def of conditional
product rule: joint can evaluated with the chaining of conditionals
bayes rule: posterior is prior*likelihood over the marginal (what’s the main purpose of this chapter?) (predictive model vs discriminative model vs generative model?)

So how do we recover the distribution $p (w ∣ h)?$ While we know definitionally a probability is a number between 0 and 1 and a distribution is a list of such numbers that normalize to 1, let us consult the definition of a conditional probability. First, let us modify our notation, unravelling the history vector $h$ into individual components $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}$ so that $p (w_{t + 1} ∣ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ denotes the conditional probability of t+1’th word given the previous t words. Keep in mind that $p (w_{1}, w_{2}) = p (w_{2}, w_{1})$ , and more generally for any permutation of $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}$ , since each random variable $W_{i} = w_{i}$ models the event that the ith position of a sentence length $t$ takes on certain value. That is, order is modeled into our random variables, and so joint probabilities remain commutative (todo. big jump here).

Then, definitionally speaking, the conditional distributionconditional distribution is defined as the ratio between the joint distributionjoint distribution of the two random variables (the one of interest, namely the next word, and the one that is being conditioned on, namely the previous words) and the distribution of the random variable that is being conditioned on, which corresponds with our intuition that the Venn diagram suggests:

todo: bayes rulebayes rule
todo: connect bayes rule over language to bayes rules over functions

$p (w_{t + 1} ∣ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}) = △ \frac{p ( w _{t + 1} , w _{1} , w _{2} , \dots , w _{t} )}{p ( w _{1} , w _{2} , \dots , w _{t} )}$

and rearrange the identity for the joint, we have that

$p (w_{t + 1}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}) = p (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t}) p (w_{t + 1} ∣ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$

known as the product ruleproduct rule, and reads that the probability of a t-length sentence is equivalent to the probability of the first t words multiplied by the probability of t+1’th word occuring given the first t words occured. The product rule is the probability of logical AND alongside the sum rule for the probability of logical OR. The product rule is also referred to as the chain rulechain rule given that we are chaining probabilities together, and is the primary mechanism of generation within a large language model’s inference loop. Morever, the fact that these distributions $p (\circ)$ are functions $p : N \to [0, 1]$ means that the division and multiplication in numpy are implemented via element-wise operatorselement-wise operation.

[!QUESTION] Given that you know $p (w ∣ h) \in R^{∣ V ∣}$ , what do you expect the types of the two distributions $p (w_{t + 1}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ and $p (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ and the shapes of their corresponding np.ndarray’s to be? Prompt a language model to implement what you think. Pause, think and prompt!

Click to reveal answer

The type of $p (w_{t + 1}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{t})$ is some function $p : N \to R^{V \times V \times \dots \times V}$ , or some np.ndarray with .shape (V, V, V, V, V).

If we had access to such distributions,

import numpy as np
history_VVVV = np.array_with_shape((V, V, V, V, V, V)) # t=4, i.e "Hello world, nice to"
joint_VVVVV = np.array_with_shape((V, V, V, V, V, V)) # t=5, i.e p("Hello world, nice to") AND p("you") 
conditional = joint_VVVVV / history_VVVV # broadcast

1.4.3 Evaluation with Bias Variance Tradeoff

1.4 Parameterization Redux: Quantification

$↩$ Table of Contents

why squared error loss from artem

Similarly to learning distributions $X$ from data, learning functions $f : X \to Y$ from data roughly follows the three step process of selecting a model for the task $T$ , a performance measure $P$ , and optimizing such measure on experience $E$ . Let’s take a look at the linearly modeling regression with squared error loss, a problem which straddles tools from all three languages of probability theory, linear algebra, and calculus.

For the task of house price prediction, the input space $X = R^{d}$ is the size in square feet, and the output space $Y = R$ is the price, meaning that the function which needs to be recovered has the type of $f : R^{d} \to R$ . An assumption about the structure of the data needs to be made, referred to as the inductive bias. The simplest assumption to make is to assume that there exists some linear relationship between the data $x$ and parameters $w$ so that $f$ ends up being modeled as an inner product plus bias, parameterized as $f (x; w, b)$ : $f f (x; w, b) : R^{d} \to R : = (w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} + \dots + w_{n} x_{n}) + b = (i = 1 \sum d w_{i} x_{i}) + b = w^{⊤} x + b$

One small adjustment we can make to $f$ is to fold the final bias term $b$ into the vector $w$ as $w_{1}$ , increasing the total dimensionality so that $w \in R^{d + 1}$ , and adjusting $x$ accordingly so that $x_{1} := 1$ and $x \in R^{d + 1}$ . Then, the equation of our line with bias is simply parameterized as $f (x; w)$ $f f (x; w) : R^{d + 1} \to R : = w^{⊤} x$

Semantically speaking, each property of the input house $x_{i} \in R^{d}$ is weighted by some weight $w_{i}$ , adjusted accordingly during the learning process so that it accurately reflects the property’s influence on the output price $y \in R$ when evaluating a prediction $\overset{y}{^}$ . We can evaluate $f$ on all $x^{(i)} \in D$ with a randomly intialized $w$ to ensure we’ve wired everything up correctly.

However, while specifying the equation of the linear regression model on ~~paper~~ screen and subsequently evaluating the computation manually might have been sufficient for pre-computational mathematicians such as Gauss and Legendre, the discipline of statistical learning is entirely predicated on computational methods. Let’s continue to use PyTorch’s core n-dimensional array datastructure with torch.Tensor, this time modeling a function $f : X \to Y$ rather than some distribution $X$ :

(todo: maybe change example to closure following torch.nn)

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:1:4}}

in which we can update the names of our torch.Tensor variables with the ranks of their vector spacesReferred to as Shape Suffixes, described by Noam Shazeer, an engineer from Google to clarify what dimensions these operations are evaluated on:

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:5:8}}

and finally, actually enforce them via runtime typechecking with the jaxtyping package (try swapping the return statements below to trigger a type error with the return type):

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:9:19}}

Let’s now sanity-check that f_typechecked is wired up correctly by evaluating it on all $x^{(i)} \in D$ with random parameter w_D. (todo: use actual housing data)

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:29:41}}

random weight vector: tensor([-0.3343,  0.0768,  2.7828, -0.1331])
expected: $500000.0, actual: $-492.46
expected: $800000.0, actual: $-690.89
expected: $250000.0, actual: $-258.08

Clearly, these outputs are unintelligible, and will only become intelligible with a “good” choice of parameter $w$ . Before we find such a parameter, let’s make one more modification to our function $f$ to increase it’s performance. Rather then evaluating f_typechecked on every input xi_D in the dataset zip(X_ND,Y_N) sequentially with a loop, we can evaluate all outputs with a single matrix-vector multiplication by updating $f$ ’s function definition to the following

$f_{batched} f_{batched} (X; w) : R^{n \times d} \to R^{n} : = Xw = x_{1}^{⊤} w x_{2}^{⊤} w ⋮ x_{n}^{⊤} w$

and the corresponding PyTorch updated to

{{#include ../../teeny/examples/2.2-regression.py:21:27}}

Now that we’ve selected our model for the task $T$ , we can proceed with selecting our performance measure $P$ which the learner will improve on with experience $E$ .

After the inductive bias on the family of functions has been made, the learning algorithm must find the function $\hat{f}$ with a good fit. Since artificial learning algorithms don’t have visual cortex like biological humans[], the notion of “good fit” needs to defined in a systematic fashion. This is done by selecting the parameter $θ \in R^{m}$ which maximizes the likelihood of the data $p (d; θ)$ . Returning to the linear regression inductive bias we’ve selected to model the house price data, we assume there exists noise $ϵ^{(i)}$ in both our model (epistemic uncertainty) and data (aleatoric uncertainty), so that $y^{(i)} = θ^{⊤} x^{(i)} + ϵ^{i}$ where $ϵ^{(i)} \sim N (μ, σ^{2})$

prices $y^{i}$ are normally distributed conditioned on seeing the features $x^{i}$ with the mean being the equation of the line $θ^{⊤} x^{(i)}$ where $y^{(i)} ∣ x^{(i)} \sim N (μ = θ^{⊤} x^{(i)}, σ^{2})$ , then we have that

$p (y^{(i)} ∣ x^{(i)}; θ) = N (θ^{⊤} x^{(i)}, σ^{2}) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} exp (- \frac{( y ^{(i)} - θ ^{⊤} x ^{(i)} ) ^{2}}{2 σ ^{2}})$

TODO: generate prose/exposition by repaging lecture/text in ram

Returning to the linear regression model, we can solve this optimization with a direct method using normal equations. QR factorization, or SVD.

def fhatbatched(X_n: np.ndarray, m: float, b: float) -> np.ndarray: return X_n*m+b

if __name__ == "__main__":
  X, Y = np.array([1500, 2100, 800]), np.array([500000, 800000, 250000]) #  data

  X_b = np.column_stack((np.ones_like(X), X))              # [1, x]
  bhat, mhat = np.linalg.solve(X_b.T @ X_b, X_b.T @ Y)   # w = [b, m]

  yhats = fhatbatched(X, mhat, bhat) # yhat
  for y, yhat in zip(Y, yhats):
    print(f"expected: ${y:.0f}, actual: ${yhat:.2f}")

To summarize, we have selected and computed

an inductive bias with the family of linear functions $f (X; θ) : = X @ θ$
an inductive principle with the least squared loss $L (θ) : = \sum_{i = 0}^{n} (y^{(i)} - X @ θ)^{2}$
the parameters which minimze the empirical risk, denoted as $(\hat{θ}) = arg min L (θ)$

Together, the inductive bias describes the relationship between the input and output spaces, the inductive principle is the loss function that measures prediction accuracy, and the minimization of the empirical risk finds the parameters for the best predictor.

1.5 Bias Variance Tradeoff

Intermezzo One: The Language of Probability Theory and Linear Algebra

$↩$ Table of Contents

As you now know from §1. Sequence Learning, language models are next token predictors. Whether these language models are bigram models, logistic regression models, or the GPT-2 like neural nets that we will see in Part II. Deep Neural Networks, they are all functions that produce an output distribution over the next word given some input sentence as the history. That is, they are functions of type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ Before we dive into the internals of teenygrad itself in §2. The Tensor and implement our own framework capable of training the bigram and logistic regression models, we will formally characterize our language model implementations from §1 using the language of calculus from high school, as well as probability and linear algebra which we will formally introduce now. The one text which was heavily consulted over others was Formal Aspects to Language Modelling (Cotterell et al., 2024). For more on formalization, please consult §A. From Problems to Proof.

Intermezzo One: The Language of Probability

I.1 Probability Spaces

$↩$ Table of Contents (Intermezzo One)

Informally speaking, you intuitively understand the notion of a probability and a probability distribution. That is, a probability is a number between 0 and 1 that represents the chance, likelihood, or belief of some event happening, and a distribution is a list of such numbers. Probability distributions come from the concept of probability spaces, so before defining the former we must define the latter, which are measures of the size of sets.

Figure I.1

Figure I.1 is comprised of three components. Namely, the blue box and it’s blue dots, the colored boxes, and the mapping from the colored boxes to the $[0, 1]$ number line

the sample space $Ω$ : the set of all possible outcomes in an experiment
the event space $F$ : the set of all subsets in the sample space
probability law $P$ : a mapping from the event space to a number between 0 and 1

Conceptually speaking, the language models we’ve seen in §1. Sequence Learning such as GPT-2, the bigram model, and the logistic regression model which have type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ produce (on a single evaluation) concrete probability distributions with np.ndarray that come from mathematically abstract probability spaces $(Ω, F, P)$ where the sample space $Ω$ is the set of words in their vocabulary, and their belief in a word occuring is represented by probability law $P$ defined on event space $F$ .

Caution

Probability spaces are usually NOT implemented with code. For instance, GPT-2, bigram models, and logistic regression models do NOT instantiate and return Python set()s for the sample space $Ω$ , the event space $F$ , nor define some function def probability_law(event_space: set) -> float for $P$ . They return a probability distributions, which we define in §I.2 Random Variables and their Distributions. Rather, the purpose of probability spaces as a mathematical definition is conceptual clarity with general definitionsDefining concepts without commiting to internal structure allows for a much broader class of objects to be considered. This is very much like type polymorphism (generics, traits, type classes), except the generality of mathematical concepts are usually “more” general than those that might be implemented with type polymorphism. For instance, this abstract definition of a probability space is generalized to cover any random experiment we’d like to model, from rolling dice, to generating language. However it’s quite unusual to have a program need to progam both. and rigorous results with theorems.

Let us now precisely define each component of a probability space $(Ω, F, P)$ , starting with the sample space $Ω$ .

A sample space is the set of all possible outcomes in an experiment denoted by $Ω$ ( $L A T E X$ code: \Omega).

Consider flipping a coin. Then $Ω := {H, T}$ .
Consider playing rock, paper, scissors. Then $Ω := {🪨, 📄, ✂}$ .
Consider rolling a die. Then $Ω := {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅}$ .
Consider drawing a card. Then $Ω := {🂡, 🂢, 🂣, 🂤, 🂥, 🂦, 🂧, 🂨, 🂩, 🂪, 🂫, 🂭, 🂮, 🂱, 🂲, 🂳, 🂴, 🂵, 🂶, 🂷, 🂸, 🂹, 🂺, 🂻, 🂽, 🂾, 🃁, 🃂, 🃃, 🃄, 🃅, 🃆, 🃇, 🃈, 🃉, 🃊, 🃋, 🃍, 🃎, 🃑, 🃒, 🃓, 🃔, 🃕, 🃖, 🃗, 🃘, 🃙, 🃚, 🃛, 🃝, 🃞}$ .

Consider generating a word from this very sentence. Then, $Ω := {a, consider, from, generating, this, sentence, very, word}$

So conceptually speaking, language models like GPT2, the bigram model, and the logistic regression model of type $f : Σ^{*} \to Δ^{∣Σ∣}$ which produce concrete distributions with np.ndarray on a single evaluation come from mathematically abstract probability spaces $(Ω, F, P)$ where the sample space $Ω$ is the set of words in their vocabulary, and their belief in a word occuring is represented by probability law $P$ defined on event space $F$ .

Important

Notice how we have NOT said anything about multiple evaluations of a language model’s output distribution (and probability space) over words to generate a complete sentence (in the probablity space of sentences). We will see how they relate soon.

An event space is the set of all possible subsets of the sample space denoted by $F$ ( $L A T E X$ code: \mathcal{F}).

TODO: something to say here about event spaces? cardinality of them?

A probability law is a function $P : F \to [0, 1]$ that sends an event to a number between 0 and 1.

Consider flipping a coin. Then we model the experiment with sample space $Ω := {H, T}$ , event space $F := {\emptyset, {H}, {T}, Ω}$ , and probability law

$P : F \to [0, 1] P (\emptyset) = 1, P (H) = \frac{1}{2}, P (T) = \frac{1}{2}, P (Ω) = 1$

[!QUESTION] Why is the probability law $P$ defined as a function on the event space $F$ rather than the sample space $Ω$ ? Pause, think! Hint: Would something bad happen if we did such a thing?

A probability law is a function $P : F \to [0, 1]$ that sends an event to a number between 0 and 1, satisfying three axioms:

non-negativity: $P (E) \geq 0$
normalization: $P (Ω) = 1$
additivity: $A \cap B = \emptyset ⟹ P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

$P ({banana, bongo}) = P ({banana} \cup {bongo}) = P ({banana}) + P ({bongo}) = 0.1 + 0.2 = 0.3 [by additivity]$

However the event $C$ which contains all foobarbaz is composed of overlapping events (corresponding to the right figure above), so the axiom of addivitiy does not apply. We can evaluate the union of non-disjoint (overlapping) events with the following corollary, known as the sum rulesum rule:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

We have now sharpened our intuitive notion of chance, belief, and probability by formally defining them as the measure of the size of sets. These sets have a home, and the measure has a domain, namely the sample space $Ω$ and the event space $F$ and together with the probability law $P$ , comprise the definition of a probability space $(Ω, F, P)$ , albeit abstractly so. Let us now connnect this mathematically abstract space to the more concrete probability distributions we used in §1. Sequence Learning.

I.2 Random Variables and their Distributions

$↩$ Table of Contents (Intermezzo One)

Probability distributions are the practical and concrete np.ndarrays we used throughout §1. Sequence Learning when implementing the bigram and logistic regression language models. So how do these connect to the abstract concept of probability spaces just defined? The answer is with random variables and their probability mass functions, which are functions that map outcomes to states, and from states to probabilities.

Figure I.2

(todo modify picture or include another picture to show distribution (probality assignment of variable taking on state))

Figure I.2 shows the same sample space $Ω$ and event space $F$ from §I.1 Probability Spaces, but rather than evaluate probabilities with the probability law $P : F \to [0, 1]$ by mapping events to the [0,1] number line (displayed in Figure I.1), we create one level of indirection with

a random variable $X : Ω \to R$ mapping outcomes in the sample space to states on the real number line and then defining
a probability mass function $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ mapping states to their probabilities.

So, starting with a sample space, you have to map outcomes to their state space with a random variable before you can evaluate their probabilities with a probability mass function, rather than evaluate them directly with a probability law. In other words, the two types are not equivalent $p_{X} (x) : R \to [0, 1] \neq = P : F \to [0, 1]$ . For example, recall from §1.1 From Certain to Uncertain Knowledge GPT-2’s np.ndarray output probs when passed the input string "Hello world, nice to":

import numpy as np

# GPT-2's output distribution when passed input "Hello world, nice to"
# Showing top 10 most likely words out of 50257.
tokens = [" see", " meet", " hear", " have", " be", " know", " you", " talk", " say", " get"]
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])
for i in np.argsort(-probs):
    print(f"{tokens[i]} : {probs[i]:.4f}")

Here, there is a random variable $X : Ω \to R$ which maps outcomes from the abstract sample space $Ω := {see, meet, hear, have, be, know, you, talk, say, get}$ to concrete states $x$ in state space $R$ . That is,

$X : Ω \to R X (see) \mapsto 0, X (meet) \mapsto 1, X (hear) \mapsto 2, X (have) \mapsto 3, X (be) \mapsto 4, X (know) \mapsto 5 X (you) \mapsto 6, X (talk) \mapsto 7, X (say) \mapsto 8, X (get) \mapsto 9$

But notice the level of indirection with the random variable. All we’ve done is translate from sample space to state space. To obtain actual probabilities, we need to map from the state space $R$ to probabilities $[0, 1]$ with the probability mass function $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ . That is,

$p_{X} : R \to [0, 1] p (0) \mapsto 0.3169, p (1) \mapsto 0.1268, p (2) \mapsto 0.1246, p (3) \mapsto 0.1046, p (4) \mapsto 0.0471, p (5) \mapsto 0.0352 p (6) \mapsto 0.0320, p (7) \mapsto 0.0128, p (8) \mapsto 0.0114, p (9) \mapsto 0.0067$

In other words, starting from sample space $Ω$ we compose $X : Ω \to R$ with $p_{X} (x) : R \to [0, 1]$ to obtain $p_{X} \circ X : Ω \to [0, 1]$ such that evaluating $p (X (ω))$ results in the probability of outcome $ω$ . (todo. this is wrong?)

But how is the multidimensional array probs with support in $R^{∣ V ∣}$ related to the abstract concept of a probability space? You may have noticed that the definition of $p_{X}$ looks quite similar to that of the probs:

import numpy as np
probs = np.array([0.3169, 0.1268, 0.1246, 0.1046, 0.0471, 0.0352, 0.0320, 0.0128, 0.0114, 0.0067])

This is because an alternative conceptualization of $R^{10}$ is some function $f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \to R$ For conveniece sake we do store the outcomes in the tokens array so that we can print them next to their probabilities by looping over states $x \in R$ with for i in np.argsort(-probs), but it’s important to note that $p_{X} (x)$ is defined on real numbered states (represented with indices), and not on set-valued events. that has support in $R^{10}$ , or more accurately, ${0, 1}^{10}$ With these two views, an alternative conceptualization of $R^{10}$ is some function $f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \to R$

todo: rvs map from one measurable space to another. we happen to like $R$

On a single evaluation language models produce such probability mass functions defined on a state space which are mapped over from an abstract sample space via random variable. In practice, we forget about the concepts of sample spaces and random variables, simply slugging around probability mass functions with np.ndarrays that have support in n-dimensional Euclidean space, where n is the size of sample space. In other words, we keep two as conceptual mathematical definitions without implementing them with code.

At this point, you may be wondering what is the point of the random variable’s indirection? … Now that you understand the notion of random variables and probability mass functions intuitively, let’s formally define them as concepts:

somehow motivate global view

The intuition is very simple: every language model can be locally normalized. The precise formulation however, is not. proof with prefix probabilities

proof

however the converse direction is not a trivial result to establish examples

2 state model (markov chain), non-tight
2 state model (markov chain), tight (absorbs)

I.3 Probabilities of Sums, Products, Conditionals

I.4 Random Processes and their Kernels

$↩$ Table of Contents (Intermezzo One)

I.5 Measurable Spaces

I.6 Vector Spaces

$↩$ Table of Contents (Intermezzo One)

I.7 Further Reading

The primary texts consulted in the writing of this chapter were (Bertsekas and Tsitsiklis 2008), (Chan 2021), (Wasserman 2004), and (Durrett (2019) for probability theory; (Strang 2026), (Strang 2019), and (Axler 2026) for linear algebra; (Boyd and Vandenberghe 2004) and (Kochenderfer and Wheeler 2019) for optimization.

2. From IPL’s Array to APL’s Multidimensional Array

$↩$ Table of Contents

2.1 From Virtual to Physical Machines (and Shapes)

$↩$ Table of Contents

justify native for eager performance
pyo3 https://github.com/j4orz/ateenysitp/blob/master/ARCHITECTURE.md#level-1-teenygrads-build-configuration-and-development-environment
native components using cpython as encapsulation boundary
freethreaded python eliminates multithreading problem

/// SGEMM with the classic BLAS signature (row-major, no transposes):
/// C = alpha * A * B + beta * C
fn sgemm(
  m: usize, n: usize, k: usize,
  alpha: f32, a: &[f32], lda: usize,
  b: &[f32], ldb: usize,
  beta: f32, c: &mut [f32], ldc: usize) {
  assert!(m > 0 && n > 0 && k > 0, "mat dims must be non-zero");
  assert!(lda >= k && a.len() >= m * lda);
  assert!(ldb >= n && b.len() >= k * ldb);
  assert!(ldc >= n && c.len() >= m * ldc);

  for i in 0..m {
    for j in 0..n {
      let mut acc = 0.0f32;
      for p in 0..k { acc += a[i * lda + p] * b[p * ldb + j]; }
      let idx = i * ldc + j;
      c[idx] = alpha * acc + beta * c[idx];
    }
  }
}

fn main() {
  use std::time::Instant;

  for &n in &[16usize, 32, 64, 128, 256] {
    let (m, k) = (n, n);
    let (a, b, mut c) = (vec![1.0f32; m * k], vec![1.0f32; k * n], vec![0.0f32; m * n]);

    let t0 = Instant::now();
    sgemm(m, n, k, 1.0, &a, k, &b, n, 0.0, &mut c, n);
    let secs = t0.elapsed().as_secs_f64().max(std::f64::MIN_POSITIVE);
    let gflop = 2.0 * (m as f64) * (n as f64) * (k as f64) / 1e9;
    let gflops = gflop / secs;

    println!("m=n=k={n:4} | {:7.3} ms | {:6.2} GFLOP/s", secs * 1e3, gflops);
  }
}

2.2 Accelerating the Communication of Hierarchies

Loop Reordering, Register and Cache Blocking

$↩$ Table of Contents

2.3 Accelerating the Computation of Pipelines

$↩$ Table of Contents

Instruction Level Parallelism via Loop Unrolling

2.4 From Abstract to Numerical Linear Algebra

2.6 Summary

One quick way to summarize the milestones in high performance computing, compilers and architecture is to list the Turing Award winners: Alan Perlis (1966) for his influence on advanced programming techniques and compiler construction, including his role in designing ALGOL and establishing the discipline of programming languages as a field; John Backus (1977) for designing FORTRAN — the first high-level language to achieve widespread practical adoption — and formalizing language syntax through Backus-Naur Form; Tony Hoare (1980) for axiomatic semantics, giving programmers a formal logical framework for reasoning about program correctness; Niklaus Wirth (1984) for designing a sequence of clean, teachable languages — EULER, ALGOL-W, Pascal, and Modula — that shaped how programming languages are structured and implemented; John Cocke (1987) for pioneering optimizing compilers and the Reduced Instruction Set Computer (RISC) architecture, showing that simpler instruction sets allow faster hardware; William Kahan (1989) for fundamental contributions to numerical analysis, most consequentially the IEEE 754 floating-point standard that made reliable numerical computation reproducible across hardware; Frederick Brooks (1999) for landmark contributions to computer architecture — most notably the IBM System/360 — and for articulating the enduring lessons of large-scale software engineering; Frances Allen (2006) for foundational contributions to the theory and practice of optimizing compilers, including dataflow analysis and the program dependence graph; John Hennessy and David Patterson (2017) for a systematic, quantitative approach to designing and evaluating computer architectures, whose RISC principles underpin billions of processors and the open RISC-V standard; and Alfred Aho and Jeffrey Ullman (2020) for foundational contributions to programming language theory and compiler construction, most durably codified in the Dragon Book; and finally,Jack Dongarra (2021) for pioneering the numerical libraries — BLAS, LAPACK, and MPI — that became the substrate of high-performance scientific computing and modern deep learning accelerators;

2.7 Further Reading

The primary texts consulted in the writing of this chapter were

Keyboard shortcuts

The Structure and Interpretation of Tensor Programs